Логическая модель нарушения транзитивности рангов рефлексии в антагонистической игре

В рефлексивных играх выбор стратегий играющими осуществляется на основании знания рангов рефлексии противника. Ранги рефлексии играющих определяются следующим образом. "Игрок имеет нулевой ранг рефлексии, если он знает только матрицу платежей. Игрок обладает первым рангом рефлексии, если он считает, что его противники имеют нулевой ранг рефлексии, то есть знают только матрицу платежей. Вообще, игрок с k-ым рангом рефлексии предполагает, что его противники имеют k-1-й ранг рефлексии. Он проводит за них необходимые рассуждения по выбору стратегии и выбирает свою стратегию на основе знания матрицы платежей и экстраполяции действий своих противников" [Поспелов, 1974].

Хотя к увеличению ранга рефлексии способны лишь сильные игроки, в теории игр установлено, что при росте этого ранга, то есть при удлинении цепочки рассуждений "я думаю, что ты думаешь, что я думаю..." есть опасность "перемудрить". Сильный игрок с высоким рангом рефлексии переоценивает противника, предполагая, что у него ранг рефлексии тоже высокий. Но если ранг соперника на самом деле низкий, это приводит к проигрышу данному более слабому противнику [Поспелов, 1989].

Из этих фактов, насколько нам известно, еще не делался вывод в терминах нарушения принципа транзитивности. Сделаем это.

Рассмотрим игру в прятки типа той, на которой и было показано несоответствие ранга рефлексии успешности деятельности, а затем введем ее модификацию, демонстрирующую нарушение транзитивности.

"Прятки"

Первый играющий прячется в одной из нескольких комнат разной освещенности, а другой играющий должен выбрать ту комнату, где будет его искать. Степени освещенности известны обоим играющим.

Стратегии играющих:

Ищущий при прочих равных условиях предпочитает искать, где светлее (там проще найти). Прячущемуся понятно, что в более темной комнате шансов найти его меньше, чем в освещенной. Возрастание ранга рефлексии означает, что игроку становится понятно, что это понятно и его противнику, и т.д. Представим ранги рефлексии игроков и соответствующие стратегии по выбору комнат в виде таблицы.