Наконец, условные символы-цифры и знаки (>, <, ==,"+, — и др.), обозначающие отношения между численностями множеств, освобождают мысль ребенка от конкретности и вещественности; слова прибавить, отнять становятся обозначением арифметических, а не жизненно практических действий, показателями более высокого уровня обобщения самих практических действий.

Итак, один и тот же материал на одном этапе обучения выступает как конкретный образ, а на последующем этапе утрачивает свою конкретность и становится абстрактным понятием. Но дальше это абстрактное понятие служит детям уже конкретной опорой в движении к новому, более абстрактному понятию.

Восхождение мысли идет по спирали. Это и значит, что, осуществляя принцип сознательности в обучении, воспитатель должен вести детей от незнания к знанию, обеспечивая в процессе этого восхождения активность самих детей в действиях и в мыслях. Воспитывать у детей потребность мыслить, ставить перед собой все новые и новые задачи, формировать интерес к преодолению трудностей и умение их преодолевать (в поисках наиболее рациональных путей решения), приучать выражать свои мысли и суждения в речи — таков принцип сознательности в обучении. Все это развивает у детей сознательное отношение к учению, стойкий интерес к математическим знаниям, понимание их значения. А направленность интересов способствует развитию воли, интеллектуальных эмоций, т. е. оказывает воспитывающее воздействие на всю личность ребенка. Принцип сознательности теснейшим образомсвязан с активностью детей. Эту взаимосвязь обеспечивает развивающее обучение.

Принцип сознательности и активности важен не только в усвоении детьми знаний, но в усвоении ими навыков. Так, вначале дети усваивают простые операции с множествами по показу и объяснению воспитателя и действуют по его примеру, образцу. Освоив правило и последовательность действий, они контролируют себя сами. Иногда ребенку приходится напомнить о правиле, но уже не раскрывая его («Какой рукой надо раскладывать кружки, Леша?» Или: «Ты же неправильно разложил грибки под картинками»).