§   Л. Н. Толстой ввел термин «народная арифметика», которая основывалась на числовой смекалке, на упражнениях с конторскими счетами и в решении задач, приближенных к жизни. Эти упражнения используются и сегодня, несмотря на некоторый анахронизм. Применение наиболее генетически раннего математического прибора (счет) позволяет детям достаточно полно освоить арифметические действия, прежде всего сложение и вычитание и овладеть составом числа. Как мы уже отмечали, в настоящее время счеты используются в обучении математике в специальной (коррекционной) школе 8-го вида. Кроме того, призыв к использованию задач, приближенных к жизни, остается актуальным и сегодня, и его необходимо учитывать при отборе содержательного материала для обучения детей в дошкольном и младшем школьном возрасте.

Конечно, говорить о создании Л. Н. Толстым педагогической системы обучения арифметике основания нет. Мы можем определить его деятельность как начальный этап, но достаточно глубокий и ставший основополагающим для последующего развития методики обучения арифметике в начальной школе и методики формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста.

Тем не менее, несмотря на критику, использование монографического метода продолжалось и в XX веке. Среди его последователей можно назвать Д. Л. Волковского, В. Л. Лая и других методистов.

Д. Л. Волковский рекомендовал использовать монографический метод не только в начальной школе, но и в подготовительных классах, детских садах и в домашнем обучении. По монографическому методу детей необходимо было обучать не счетной деятельности, а знанию чисел в соотнесении с формой — квадратом, кругом и т. д. Методические принципы, предложенные Д. Л. Волковским, долгое время использовались в детских садах СССР.

Другой подход, имевший место в методике того времени, — вычислительный. Обучение по этому методу строилось по десятичным концентрам. В пределах каждого концентра изучались не отдельные числа, а счет и действия. Разновидностью данного метода стали представления о необходимости обучения действиям на материале задач. В определенной степени все эти подходы отражали историческое развитие формирования количественных представлений человека. Во многих случаях взгляды авторов монографического и вычислительного методов как бы менялись местами. Например, С. И. Шохор-Троцкий, защищая вычислительный метод обучения арифметике в школе, считал, что понятие числа является изначально данным, поэтому в целях оживления врожденного свойства необходимо использовать монографический метод для обучения детей дошкольного возраста. Д. Л. Волковский, наоборот, выступая за монографический метод обучения математике в школе, обосновывал свою позицию тем, что практическая деятельность с множествами в игровой и бытовой форме в дошкольный период сформировала у детей умение считать и элементарное понятие числа, но числовые представления у них хаотичны, их надо упорядочивать в школе.