1.6. Выборочные распределения

1.6.1. Вводные замечания. Здесь рассматриваются распределения статистик, часто применяемых в качестве состоятельных оценок для соответствующих параметров генеральной совокупности. В п. 1.6.2 речь идет о приближенном расчете выборочного распределения для больших выборок, в пп. 1.6.3 и 1.6.4 о распределении статистик, получаемых из нормальных совокупностей.

1.6.2. Асимптотически нормальные выборочные распределения. При достаточно большом объеме выборки выборочные распределения многих статистик можно аппроксимировать нормальным распределением с помощью следующих теорем:

(a) Пусть статистика (х1, х2 .... xn) представима в виде функции y = f(m1, m2 .... ) от выборочных моментов mk, и пусть f(m1, m2 .... ) определена и дважды непрерывно дифференцируема. Тогда выборочное распределение статистики у при n->oo асимптотически нормально. Эта теорема применима, в частности, к выборочному среднему, к выборочным дисперсиям, ко всем выборочным моментам. Аналогичная теорема применима к многомерным распределениям.

Распределение каждой выборочной квантили Хр асимптотически нормально. Эта теорема применима, в частности, к выборочной медиане Х1/2 . При аналогичных условиях любое совместное распределение выборочных квантилей (и. следовательно, например, выборочной интерквартильной широты) также является асимптотически нормальным.

16.3. Выборки из нормальной совокупности.

(а) В случае выборок из нормальной совокупности (нормальных выборок) все выборочные значения являются нормальными случайными величинами, и многие выборочные распределения могут быть вычислены явно. Предположение о нормальности генеральной совокупности часто опирается на центральную предельную теорему (пример: ошибки измерения). Пакет SG проводит проверку выборку на нормальность и в случае, если это предположение верно автоматически применяет нужный закон распределения ко всем вычисляемым оценкам.