(b). Выборочное среднее и выборочная дисперсия независимы тогда и только тогда, когда рассматриваемая выборка получена из нормальной совокупности.

(с). Заметим, что арифметическое среднее из наименьшего и наибольшего выборочных значений есть состоятельная несмещенная оценка для математического ожидания выборки.

(d) Для любого непрерывного распределения генеральной совокупности вероятность того что, по крайней мере доля q всей совокупности расположена между крайними значениями Xmin и Xmax данной случайной выборки объема n, известна.

1.7. Проверка статистических гипотез

1.7.1. Статистические гипотезы. Рассмотрим пространство выборок (х1, х2 .... xn), где х1, х2 .... xn - действительные, случайные величины. Каждое непротиворечивое множество предположений, относящихся к распределению n-мерной величины (х1, х2 .... xn), называется статистической гипотезой. Статистическая гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение вероятностей; в противном случае она называется сложной.

Пусть распределение n-мерной величины (х1, х2 .... xn) известно. Тогда простая статистическая гипотеза приписывает параметрам h1, h2 ,… вполне определенные значения h10, h20 ,... («точка» в пространстве параметров), тогда как сложная статистическая гипотеза ограничивает «точки» h1, h2 ,… некоторой областью в пространстве параметров. Класс допустимых статистических гипотез (допустимых комбинаций параметров) ограничен условиями рассматриваемой задачи.

1.7.2. Критерии с фиксированной выборкой; определения. Пусть дана некоторая фиксированная выборка объема n; критерий статистической гипотезы Н есть правило, позволяющее отвергнуть или не отвергнуть гипотезу Н на основании выборки (X1,…,Xn). Каждый критерии определяет критическое множество (область) S «точек» (х1, х2 .... xn): гипотеза H отвергается, если выборка (X1,…,Xn) принадлежит критическому множеству, и не отвергается в противном случае.