Методы изучения чисел и метод изучения действий основаны на двух различных психолого-педагогических концепциях становления понятия числа у ребенка.

Метод А. В. Грубе базировался на теории восприятия числа, которая обосновывает способность ученика охватить множество как единую систему элементов, не прибегая к их пересчету.

Разработчики метода изучения действий критиковали это положение и доказывали, что число может быть усвоено ребенком только в результате пересчитывания объектов.

Метод изучения чисел (монографический метод) начал распространяться в России в начале 60-х годов XIX в. с появлением книги И. П. Паульсона «Арифметика по способу Грубе». Наиболее популярная версия этого метода была предложена известным отечественным педагогом В. А. Евтушевским в «Методике арифметики», вышедшей в свет в 1872 г.

Авторы были убеждены в эффективности «непосредственного созерцания чисел» 1-100 для «осязательного понимания» и формирования у детей наглядного образа каждого отдельного числа первой сотни, несмотря на то что примеров разложения чисел по составу в пределах сотни может быть около 5000. Тем не менее в прилагаемых к «Методике...» задачниках содержались упражнения по разложению каждого числа в пределах 100 на все предшествующие числа, по разностному и кратному их сравнению.

Стремление ведущих немецких педагогов усовершенствовать курс арифметики А. В. Грубе, опираясь на данные психологических исследований, привело к разработке метода числовых фигур (метода изучения чисел при помощи числовых фигур).

В опубликованном в 1897 г. в Германии «Руководстве к первоначальному обучению арифметике, основанному на дидактических опытах» В.А.Лай рекомендует, как и А. В. Грубе, изучать каждое число в отдельности, но уже не в пределах сотни, а лишь от 1 до 10.

В. А. Лай экспериментально установил, что ребенок в состоянии одновременно воспринять пространственно неупорядоченную группу, состоящую не более чем из четырех объектов, но если расположить счетный материал в виде определенной фигуры, то ученики смогут воспринять и большие группы - до 10-12. Автор предложил использовать разработанные еще в 1877 г. Ф. И. Буссе квадратные числовые фигуры не только как рядовое наглядное пособие, а как главный и единственный дидактический материал - основу формирования понятия числа, который вызывает образ числа, как целого, так и раздробленного по составу в различных комбинациях.