Интуиционистская критика проникла в область арифметики и алгебры, усовершенствовала доказательства существования корня алгебраического уравнения: внесла уточнение в классическое понятие сходимости рядов и разработала различные части теории рядов; обработке (в плане «интуиционизма») подверглась теория функций комплексного переменного; уточнения были достигнуты в понятии о множестве, что дало возможность разработать важные разделы теории множеств, в частности радикально уточнена была теория «мощностей»; в теории «полной упорядоченности» и в исследованиях «точечных видов» были получены результаты, позволившие Брауэру приступить к исследованию (на основе принципов «интуиционизма») теории функций, и т. д. и т.п.

За время, протекшее с начала возникновения математического «интуиционизма» до исхода 20-х годов, исследования частей и учений математики, допускающих применение «интуиционистских» методов, значительно продвинулись и расширились. Во «Введении в метаматематику» (которая, впрочем, не совпадает с «интуиционистской» математикой) Клини широко и обстоятельно освещает последующее проникновение «интуиционизма» в математику и ее теории, а также достигнутые при этом ценные результаты. Бесспорно успешной и плодотворной была в «интуиционизме» критика «формализма». «Интуиционизм» представил убедительные доказательства невозможности чисто формалистического обоснования математики, доказал необходимость содержательной математики. Принципиальное значение получило предложенное «интуиционистами» решение вопроса о возможности доказательства непротиворечивости. Доказуемость эта — краеугольное условие формалистического обоснования математики. Однако «интуиционисты» показали, что для доказательства непротиворечивости необходимо применение полной индукции, полная же индукция опирается на интуицию. Фундаментальным событием явилось доказательство австрийским математиком Гёделем известной теоремы, названной «теоремой Гёделя». Согласно этой теореме, в каждой математической системе, для которой имеется доказательство ее непротиворечивости и которая содержит теорию чисел, фигурируют положения, в этой системе недоказуемые, но доступные доказательству по принципам «интуиционизма». Особенно важно учесть при оценке математического содержания «интуиционизма», что «интуиционистская» критика и теория развивались отнюдь не с позиций борьбы против логики, а, напротив, во имя более строгого в логическом отношении обоснования математики. «Интуиция» «интуиционистов» — это не алогическая интуиция Бергсона, а метод непосредственного интеллектуального усмотрения в математике. В сущности то, что Брауэр понимает под «интуицией», есть, по выражению Гейтинга, только «способность раздельного рассмотрения определенных понятий и выводов, регулярно встречающихся в обыденном мышлении» (7, 20).