Рассмотренный взгляд на роль интуиции в обосновании и построении математики не есть только гносеологическое убеждение (или мнение) некоторых математиков, именуемых «интуиционистами». Кроме гносеологического смысла он имеет смысл специально математический. В качестве математического принцип «интуиционизма»: 1) заключается по существу во взгляде, что в математике доказанными могут считаться только такие положения, к которым приходят в результате осуществленного построения или по крайней мере на основе воззрения, указывающего принципиальную возможность такого построения; 2) утверждает, что основанием и наиболее специфическим для математики принципом является принцип полной индукции, не выводимый логически и открывающийся только в непосредственном интеллектуальном усмотрении.

Основополагающее значение построения для интуиционистской математики побуждает некоторых крупных математиков этого направления предпочитать для его логики наименование не «интуиционистской», а «конструктивной». Термин «конструктивная» логика предпочитают математики и математические логики советской школы — академик А. Н. Колмогоров и другие. Это предпочтение мотивируется желанием отмежевать математический «интуиционизм» от направления, которое они называют философским интуиционизмом (лучше было бы назвать его «философским интуитивизмом»). Так, В. А. Успенский, редактор русского перевода книги американского математика Стефена К- Клини «Введение в метаматематику», в примечании пишет: «...употребление многими авторами... терминов «интуиционистская математика», «интуиционистская логика» и т. п. следует признать не совсем удачным, поскольку охватываемое этими терминами положительное содержание не имеет обычно... никакого отношения к философии интуиционизма» (см. 9, 49).

Действительно, математический «интуиционизм» вовсе не есть философское направление. Он имеет специфическое математическое содержание, независимое от философии и ни в какой мере не подлежащее ее опеке. Но если «интуиционизм» не имеет «ничего общего» с философским интуитивизмом, например, Бергсона, или Н. О. Лосского, или С. Л. Франка, или даже Гуссерля, то это вовсе не значит, что в конструктивной математике нет понятия об интуиции или что это понятие не играет в ней никакой существенной роли. Понятие это вполне правомерно. Как понятие о непосредственном знании, о непосредственном усмотрении ума понятие «интуиции», само по себе взятое, не характеризует ни в какой мере принадлежность философии (или науки), в которой он используется, к идеализму или материализму (в философском смысле). Оно так же мало характеризует ориентировку среди философских направлений, подобно тому как понятия «опыт» или «идея», сами по себе взятые, не могут рассматриваться в качестве признаков идеалистического или материалистического направления тех учений, в которых эти понятия встречаются. Было бы по меньшей мере странно отказаться, например, от понятия «опыт» только на том основании, что существует идеалистическое — берклеанское, юмистское, махистское и т. д. — понимание опыта, И было бы не менее странно надеяться на то, что «интуиция», о которой говорят Брауэр, Вейль и другие математики «интуиционистского» направления, перестанет быть интуицией, как только мы начнем называть ее вместо «интуиции» «построением». И в том и в другом случае «интуиция» будет непосредственным, логически не обоснованным усмотрением ума, начальным актом познания, приводящим к обладанию математической истиной (такова, например, интуиция, посредством которой усматривается принцип полной индукции). И в том и другом случае речь идет не о том, допустимо ли понятие об интуиции, а только о том, будет ли интуиция мыслиться в идеалистической или в> материалистической интерпретации этого понятия, вполне правомерного и даже необходимого.