Если множество конечно и состоит из отдельных заданных предметов, то мы еще можем путем последовательных актов выбора составить и пересмотреть все возможные его подмножества. Принцип «интуиционизма» останется ненарушенным. Но если множество бесконечно, то абсолютизирующая концепция существования не может быть применена к подмножествам. Такое применение еще менее возможно, чем применение ее к элементам. Математика может иметь дело только с такими подмножествами, которые определены закономерным образом на основании какого-нибудь свойства, характерного для их элементов. Абсолютизирующая математическая мысль совершает, согласно взгляду Вейля, переход к «трансцендентному». Поэтому Вейль полагает, что теоретико-множественное обоснование представляет собою «стадию наивного реализма, не осознающего содеянного им перехода от данного к трансцендентному» (5, 90). Но даже если бы этот переход был осознан, он и в этом случае был бы невозможен. Согласно «интуиционизму», «трансцендентное» никогда не может попасть в сферу действия нашей созерцающей интуиции. Представление, будто интуиция способна овладеть областью «трансцендентного», Вейль называет «мистическим». Поэтому теория множеств «никоим образом не является основанием математики» (5, 120). Поистине изначальна в математике всеобщность арифметики и анализа. И эта всеобщность, утверждает Вейль, «опирается на свой собственный интуитивный фундамент и потому заполнена самостоятельным интуитивным содержанием» (5, 120).

В отличие от «интуиционизма» аксиоматический формализм Гильберта пытается «оставить позади себя» содержание, непосредственно данное в интуиции, и представить средствами математики «трансцендентное». Но он может представить его только посредством системы символов.

Сказанным определяется отношение «интуиционизма» к аксиоматическому формализму Гильберта. Этот формализм сводит математическое мышление к поискам следствий, логически вытекающих из принятых посылок. Но «интуиционизм» отвергает такую теорию математического исследования. «Математика, — говорит Вейль, — вовсе не состоит в том, чтобы развивать по всем направлениям логические выводы из данных предпосылок; нет, ее проблемы ставятся интуицией, жизнью научного духа, и эти проблемы нельзя разрешать по установленной схеме вроде арифметических школьных задач. Дедуктивный путь, ведущий к их разрешению, не предсказан, его требуется открыть, и в помощь при этом нам служат обращения к мгновенно прозревающей многообразные связи интуиции, к аналогии, к опыту» (5, 53). В математике невозможно дать описательную характеристику всего бесконечного многообразия отдельных структур — характеристику, которая была бы независима от способа конструктивного порождения этих структур. По выражению Вейля, мы «не обладаем истиной, мы завоевываем ее путем активного действия» (5, 46). Или, говоря иначе, не существует ни одного определяемого описанием (дескриптивного) признака для предложений, доказуемых из данных предпосылок, — математика неизбежно должна пользоваться построением.