Совершенно иным будет взгляд на значение, какое принцип «интуиционизма» получил для обоснования и развития математики как специальной науки, поскольку он свободен от предпосылок идеалистической философии. В сфере математики, под давлением ее задач и в рамках понятий этой специальной, несмотря на всю ее великую всеобщность, науки в понятие интуиции и интуитивного обоснования математического знания были внесены важные изменения и уточнения. Уточнения эти освобождали математическую мысль от внушений идеалистической философии и оказались чрезвычайно плодотворными и перспективными для развития математики и целого комплекса ее специальных дисциплин.

Позиция и устремления математического «интуиционизма» имеют предпосылкой отрицательное отношение «интуиционистов» к абсолютизации логических и формальных основ математики. «Интуиционизм», конечно, пользуется и математической логикой и методами формализации. Поэтому отношение «интуиционизма» к «логицизму» в духе Рассела или к «формализму» в смысле Гильберта ни в коем случае не есть отрицание ценнейших для науки результатов их исследований.

У «интуиционистов» предметом критики стало убеждение «логицистов» в том, будто все здание математики может быть возведено на основе одной только логики. «Интуиционизм» прослеживает возникновение и разработку этого убеждения. Вейль напоминает, что уже Ганкель в 1867г. в теории комплексных чисел заявлял: «Условием построения всеобщей арифметики является... очищенная от всего интуитивного чисто интеллектуальная математика, чистое учение о формах, в которой исследуются не количества или их образы, числа, а интеллектуальные объекты, которым могут, но вовсе не должны соответствовать действительные объекты или отношения между ними» (см. 5, 56. Курсив мой. — В. А.). В этой «логизированной» до конца математике ее «аксиомы превращаются в скрытые определения содержащихся в них основных понятий» (5, 56). «Чистая», как называет ее Вейль, математика «признает только одно, но зато совершенно обязательное условие истины — именно непротиворечивость» (5, 56). Впоследствии задача, намеченная Ганкелем с целью построения всеобщей арифметики, получила полное и всеобъемлющее развитие в исследованиях Дедекинда, Фреге и Рассела. По словам Вейля, эти исследователи «как раз и имели целью полностью логизировать математику» (5, 74). Авторы этого направления полагали, что столь важный для математики принцип полной индукции может быть обоснован логически — «на трансфинитном применении понятий «все» и «существует»; при этом в теории множеств стирается демаркационная линия между математикой и логикой» (5, 74). Сначала общая арифметика так называемых гиперкомплексных чисел, а затем исследования, посвященные вопросам аксиоматики, развитие теории множеств и логистики приводят к тому, что «различие между математикой и логикой постепенно стирается» (5, 87). В 1870 г. Б. Пирс (В. Peirce. He смешивать с основателем прагматизма Чарльзом Пирсом!) определяет математику как науку «о производстве необходимых умозаключений» (5, 87). В своей книге «Введение в математическую философию» Бертран Рассел писал: «Логика стала более математической, математика— более логической... В действительности они составляют одно» (80, 194). А в первом томе «Логических исследований» Гуссерль указывал, что значительная часть теорий, принадлежащих к «чистой», или «формальной», логике, «уже давно складывалась в виде чистой (в особенности «формальной») математики и обрабатывается математиками...» (61, 252).