Идея «формализации» математики была развита также в «формализме» Гильберта. В его системе понятия математики освобождаются от всякого содержания, в том числе даже от чисто логического. У Гильберта теоремы (согласно характеристике Вейля) «превращаются в лишенные всякого смысла фигуры, составленные из комбинаций нескольких символов, и математика оказывается уже не знанием, а управляемой некоторыми условными правилами игрой в формулы, вполне подобной игре в шахматы. Шахматным фигурам в математике соответствует ограниченный запас символов, расположению фигур на доске — объединение символов в формулу. Одна или несколько формул принимаются за аксиомы; им соответствует известное расположение фигур в начале шахматной партии. И подобно тому как в шахматах из какой-нибудь конфигурации после подчиненного известным правилам передвижения фигур хода получается новое расположение фигур на доске, так ив математике действуют формальные правила вывода, согласно которым из одних формул могут быть получены, «выведены» новые формулы» (5, 27). Размещение фигур на доске, полученное из их начального расположения в шахматной партии, разыгранной по всем правилам игры, может быть названо «правильным размещением». В математике аналогичную роль играет доказанная формула, получающаяся из аксиом на основе правил умозаключения. Можно представить себе в шахматной игре ситуации, противоречащие ее правилам. Таким противоречием было бы, например, наличие в одной игре на доске 10 ферзей одного и того же цвета. Аналогично и в математике некоторые формулы определенного начертания квалифицируются как противоречия. Наконец, есть аналогия между целью шахматной игры, какой является мат, и некоторыми формулами математики: формулы эти «вызывают в играющем в математику желание получить их в качестве результирующей формулы из подходящим образом подобранной цепи ходов в правильно разыгранной партии доказательства» (5, 27).

Аналогия с шахматной игрой очень хорошо иллюстрирует устремление «формализма». Но даже в столь радикальном своем виде математический «формализм» не может исчерпать все задачи и весь метод математики. Тот же Гильберт признал уже в работах 1922 г., что, кроме формализованной математики, исключающей всякое обращение к интуиции и всякое содержательное мышление, необходимо существует еще другая математика, именуемая по почину того же Гильберта «метаматематикой». В ней развивается дедукция, приводящая к выводу, что конечная формула какого-нибудь доказательства никогда не может быть противоречивой. Однако для оправдания этого вывода, единственного не поддающегося усилиям «формализма», Гильберт, как констатирует Вейль, «вынужден прибегнуть к обладающему содержанием и смыслом мышлению» (5, 28), вынужден построить «интуитивно-конечное умозаключение, опираясь на принцип полной индукции» (5, 28). И Вейль иллюстрирует это положение опять-таки с помощью аналогии с шахматной игрой. Эта игра может превратиться в знание, если мы докажем, что в шахматной партии при правильной расстановке фигур на доске не могут оказаться десять ферзей одного цвета. Кроме ферзя, стоящего на своем месте в начале партии, на доске могут оказаться ферзи того же цвета, например, белого, образовавшиеся в результате прохождения белых пешек на последнюю — восьмую линию клеток. Правила игры таковы, что ни один ход не дает возможности увеличить число пешек и ферзей одного и того же цвета. Если все пешки одного цвета прошли в ферзи, то сумма эта равна 9. Будем теперь рассматривать эту сумму как начальную. Ни при каком расположении фигур на доске она не может стать большей. Умозаключение, посредством которого мы приходим к этому знанию, есть интуитивное умозаключение, опирающееся на принцип полной индукции.