В книге «Наука и гипотеза» рассуждение, в котором применена математическая полная индукция, называется «рекуррентным рассуждением» (le raisonnement par récurrence). И здесь Пуанкаре опровергает мнение тех, кто надеется обосновать принцип полной индукции посредством аналитической логики и доказательства. Правда, утверждает Пуанкаре, можно легко переходить от одного выражения к другому и создавать для себя таким образом иллюзию, будто доказали законность рекуррентного рассуждения (см. 76, 22). Но в конце концов всегда приходится остановиться: мы всегда придем к недоказуемой аксиоме, которая в сущности будет не чем иным, как предложением, подлежащим доказательству и лишь переведенным на другой язык. В результате «нельзя не прийти к заключению, что способ рекуррентного рассуждения не сводим к принципу противоречия» (76, 23).

В конце исследования, посвященного вопросу об интеллектуальной интуиции в математике, Пуанкаре приходит к выводу, что эта интуиция, как факт математического знания, как условие математического рассуждения, существует. Вывод этот не должен остаться без дальнейшего рассмотрения. Здесь естественно и совершенно неизбежно возникают вопросы: каково реальное происхождение (генезис) этого факта? В каком отношении стоит непосредственное усмотрение (интеллектуальная интуиция) к предшествующему ему опыту—к чувствам, к интуициям чувственным? Иначе, каким образом опосредствована в ходе развивающегося познания «непосредственность» математической интуитивной «очевидности»? Каков путь практики, приводящий математическую науку на высоких ступенях ее развития к актам созерцания, или к усмотрениям, которые на этих ступенях представляются уже как «непосредственные»? Пуанкаре понимает, что такие вопросы правомерны. Он сам формулирует их (хотя далеко не точно) как вопросы о генетической связи между интуицией интеллектуальной и интуицией чувственной. «Не менее ли глубока,— спрашивает Пуанкаре,— чем кажется с первого взгляда, пропасть, которая разделяет их? Не окажется ли при небольшом внимании, что эта чистая интуиция сама по себе не может обойтись без помощи чувств?» (77, 32). Но, поставив «с грехом пополам» вопрос, Пуанкаре отказывается сколько-нибудь серьезно исследовать его. «Это, — говорит он, — дело психолога и метафизика (то есть философа. — В. А.), и я не стану разбирать этот вопрос» (77, 32). Пуанкаре даже не подозревает, что ответ на сформулированный им вопрос о связи интеллектуальной интуиции с практикой, с чувственным опытом дан в философии диалектическим материализмом. «...Беда Дюгема, Сталло, Маха, Пуанкаре», как показал В. И. Ленин, в том, «что двери, открытой диалектическим материализмом, они не видят» (2, 297).