Именно так обстоит дело, согласно взгляду Пуанкаре, с принципом полной индукции. Ведь при исследовании отсутствия противоречия приходится ссылаться «на тот самый принцип полной индукции, который как раз и надлежит проверить» (18, 8). Недоказуемые принципы, составляющие исходные положения математики, утверждает Пуанкаре, «суть не что иное, как обращения к интуиции...» (18, 19). Из девяти указанных «логицистами» неопределимых понятий и из двадцати недоказуемых положений (Пуанкаре даже думает, что их больше), образующих устои «логицизма», «каждое предполагает новый и независимый акт нашей интуиции...» (18, 20).

До сих пор Пуанкаре возражал Расселу как математик математику или как логик логику, и с этим его возражением нельзя не считаться. Но, верный своему кантианскому предрассудку, он тут же добавляет: а почему не сказать прямо, что каждый такой новый и независимый акт интуиции есть «подлинное синтетическое суждение a priori» (18, 20)? Выдвигая это предложение, Пуанкаре покидает почву науки и становится на почву ошибочного идеалистического априоризма кантовского типа.

Но против «логицистов» Пуанкаре выдвигает и другое возражение. «Логицисты» не только полагают в основу математики чисто логические определения, лишенные интуитивной непосредственности. Они, кроме того, утверждают, что если интуитивные элементы еще можно встретить среди исходных положений математической дедукции, то уж во всяком случае они нигде не могут встретиться в самой дедукции. Пуанкаре так понял этот тезис «логицистов»: они говорят, что, делая начальные ссылки на интуитивно найденные положения, они обращаются к интуиции в последний раз; что больше им к помощи интуиции обращаться не придется и что в дальнейшем можно будет строить математику, не обращаясь к посредству какого-либо нового элемента (см. 78, 176). Пуанкаре доказывает, что это утверждение «логицистов» осталось у них необоснованным, так же как и утверждение о чисто логическом характере исходных определений математики. Разбирая доказательства Рассела (и попутно Гильберта, который, как признает сам Пуанкаре, не был «логицистом» в духе Рассела), Пуанкаре находит, что еще до того как «логицисты» обосновывают в своих рассуждениях принцип полной индукции, они применяют — без доказательства — этот же принцип и, следовательно, сами того не замечая, обращаются к интуиции.