На этот интеллектуальный характер интуиции Пуанкаре не обратил внимания Кутюра в своей полемике против него. Он как будто не замечает, что Пуанкаре, как было здесь показано, не только настаивает на существовании интеллектуальной интуиции, но и признает за ней чрезвычайно важное значение. Не станем слишком винить Кутюра в этой невнимательности. Пуанкаре сам подал повод к недоразумению. Как было уже указано, его суждения о видах интуиции и об отношении между ними весьма непоследовательны. В одних случаях у него вполне ясно выступает понятие об интеллектуальной интуиции, и она четко отделяется от интуиции чувственной. Но он не придерживается строго этого разграничения. Точнее говоря, он полагает, что интеллектуальная интуиция — очень редкий дар и свойственна очень немногим умам. Замечательно владел ею, по мнению Пуанкаре, французский математик Эрмит (Hermite). ß беседах он «никогда не прибегал к чувственному образу» (77, 32). И все же собеседник скоро замечал, что самые абстрактные сущности были для него как бы живыми существами.

Выделяя интеллектуальную интуицию, Пуанкаре ограничивает ее применение в математике. Он видит, что в науке нового времени сфера интуиции заметно сужается. Современное сознание требует у интуиции все больше и больше уступок в пользу логики. Этот процесс Пуанкаре считает понятным и даже правомерным. «Интуиция, — говорит он, — не может дать нам строгости, ни даже достоверности — это замечается все больше и больше» (77, 17). Строго сформулированные, логически доказанные предложения подрывают доверие к интуиции. Например, смутная идея непрерывности, которой математика первоначально была обязана интуиции, разрешилась по мере успехов анализа в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.

И все же заключение «логицистов», будто в математике пришла пора вовсе освободиться от необходимости прибегать в своих рассуждениях к интуиции, не может быть, по мнению Пуанкаре, обосновано: «Чистая логика всегда привела бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке» (77, 20). Чтобы создать арифметику, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было иную науку, «необходимо нечто другое, чем чистая логика» (77, 20). Это другое — интуиция, но не основывающаяся на чувствах и воображении или на простом индуктивном обобщении, а «интуиция чистого числа» (77, 22). «В новейшем анализе.., — говорит Пуанкаре, — находят место лишь силлогизмы и апелляция к этой интуиции чистого числа — единственной интуиции, которая не может обмануть нас» (77, 22—23). Именно поэтому можно сказать, что ныне «достигнута абсолютная строгость» (77, 23).