Выступая против «логицизма», Пуанкаре имел в виду не только эвристическое понимание интуиции, но и логико-гносеологический предмет спора. Особенно в своей полемике с Кутюра он разумеет под «интуицией» уже не «вдохновение», не «догадку», а прямые, не опирающиеся на логику интеллектуальные усмотрения. В статье «Математика и логика» Пуанкаре спорит с Расселом, Пеано и их единомышленниками уже не как психолог, исследующий условия математического открытия, а как математик, против математиков по существу теории математического доказательства.

Вопрос об интуитивных предпосылках науки связывается у Пуанкаре с вопросом о природе и видах аксиом. Он рассматривает этот вопрос в первой части книги «Ценность науки». Характер аксиом выясняется здесь путем разбора четырех примеров. Это аксиомы:

1) «Две величины, равные третьей, равны между собой»;

2) «Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n + 1, когда справедлива для п, то она будет справедлива для всех целых чисел»;

3) «Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D между Ли С, то точка D будет лежать между А и ß»;

4) «Через одну точку можно провести только одну параллельную данной прямой» (77, 20—21).

Согласно утверждению Пуанкаре, все эти четыре аксиомы «должны быть приписаны интуиции» (77, 21). Однако познавательная функция их, по Пуанкаре, не одна и та же. Первая из них выражает одно из правил формальной логики. Вторая есть настоящее априорное синтетическое суждение в кантовском смысле и не может быть получена путем логического анализа понятий. В математических рассуждениях она играет чрезвычайно важную роль, так как на ней основывается строгая математическая индукция. Третья апеллирует к пространственному представлению. Наконец, четвертая есть скрытое определение. Это знаменитый постулат Евклида, основа его теории параллельных (см. 77, 21).

Из дальнейших разъяснений Пуанкаре видно, что он отличает интуицию чувственную от интуиции интеллектуальной и что в основу строгих математических рассуждений он кладет не чувственную, а именно интеллектуальную интуицию. «Мы имеем, — поясняет он, — несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; наконец, мы имеем интуицию чистого числа — ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому рассуждению» (77, 22).