Конечно, бесполезно спорить о словах. Нельзя никому запретить называть «интуицией» способность изобретения и предшествующую доказательству способность предвидения. Но надо точно оговорить этот смысл понятия «интуиции» и отличить его от понятия о логически невыводимых элементах доказательства. Пуанкаре не делает этой оговорки. У него «интуиция» выступает то как «нелогический» элемент или основа доказательства, то как способность изобретения. В первом смысле она принадлежит все же к аппарату или системе доказательства, и тогда возникает вопрос об отношении между интуитивными и логическими элементами доказательства. Во втором смысле она действие ума, не входящее в систему доказательства, и составляет предмет исследования не логики, не теории познания, не методологии, а психологии творчества, психологии изобретения, эвристики. У Пуанкаре оба эти значения не разделены, а смешиваются, затрудняя понимание и вызывая справедливые нарекания в неясности вроде тех, которые сделал Кутюра.

Совершенно ясно, что совсем не этот смысл термина «интуиция» (не интуицию как «догадку») имели в виду математики и логики, оспаривавшие, как Рассел и Кутюра, роль интуиции в математическом доказательстве и рассуждении. У них речь шла не о догадке, не о вдохновении, а об интуиции в ее гносеологически-логическом, если позволено так выразиться, содержании. Они не касались вопроса о том, как приходит математику на ум его открытие. Их интересовал (как, впрочем, и самого Пуанкаре) вопрос, можно ли в логическом строении математического доказательства найти такие элементы, которые входят в него не как звенья логической связи, а как интуитивные основы всей цепи дедукций и как интуитивные предпосылки самих логических связей. «Логицисты» утверждали, что, введя без доказательств небольшой круг определений, математика в дальнейшем развитии своих дедукций не нуждается больше ни в каких интуитивных усмотрениях; все остальное в ней — дело одной логики, задача чисто логического построения. И до возникновения «логицизма» все математики были согласны с тем, что дедукция предполагает первые предложения, которые наука вынуждена постулировать и которые в этой науке не выводятся. И точно так же все были согласны с тем, что источник этих постулатов может быть различный. Новым в «логицизме» было утверждение, что в отличие от других дедуктивных наук математика, строго говоря, не нуждается в постулатах. Различные математические теории, доказывал Рассел, опираются не на собственные интуитивно созерцаемые аксиомы, а только на определения. Математика состоит (как выразился Кутюра, поправляя Максима Бохера) в дедукциях, производимых «от логических определений по логическим принципам» (12, 186). Что касается объектов математики, то в отличие от объектов других дедуктивных наук они «определяются в функции одних только логических констант» (12, 186). И если по форме математика — «ансамбль выводов, сообразных с принципами логики», то по содержанию она «ансамбль определений, содержащих только термины логики» (12, 186).