В одних случаях «интуиция» выступает у Пуанкаре как принцип математического рассуждения, как основание и условие математической дедукции. В других же случаях «интуиция» толкуется как синоним математической «догадки», математического вдохновения, как условие творчества в математике. Особенно ясно этот последний смысл термина «интуиции» проглядывает в третьей главе книги «Наука и метод» с ее знаменательным названием «Математическое творчество» (78, 43—63). Здесь «интуицией» Пуанкаре называет просто чувство того порядка, в каком должны располагаться элементы математического рассуждения или доказательства. Это «интуиция математического порядка, дающая возможность угадывать гармонию и скрытые отношения» (78, 47). И Пуанкаре поясняет понятие интуиции, рассказывая об обстоятельствах, при которых им была найдена и разработана теория так называемых фуксовых функций. В этом рассказе, который сам по себе чрезвычайно интересен и ценен для психологии научного открытия, Пуанкаре особенно подчеркивает внезапность интуитивного усмотрения и непосредственность сознания его безусловной истинности, чувство абсолютной уверенности, сопутствующее вдохновению (см. 78,53—55).

С этим значением интуиции как догадки и вдохновения близко соприкасается другое. Под «интуицией» Пуанкаре часто понимает дар математического творчества, способность к математическому изобретению, к открытию новых математических идей. В этом смысле «интуиция» отличается у него от «логики» как искусства доказательства уже найденных идей. Отличается, но не противопоставляется. Понятые в этом значении «интуиция» математика и «логика» математика друг друга предполагают и взаимно дополняют. «Посредством логики доказывают, — поясняет Пуанкаре,— посредством интуиции изобретают» (78, 137).

«Логика говорит нам, что на таком-то и таком-то пути мы, наверное, не встретим препятствий; но она не говорит, каков путь, который ведет к цели. Для этого надо издали видеть цель, а способность, научающая нас видеть, есть интуиция. Без нее геометр был бы похож на того писателя, который безупречен в правописании, но у которого нет мыслей» (78, 137).