В каком же отношении к реальности находится, по Кантору, новое понятие актуальной бесконечности? Ответ Кантора на этот вопрос чрезвычайно интересен. Он предлагает различать два вида реальности математических понятий. Им присуща, во-первых, реальность, которую Кантор называет «имманентной», или «интрасубъективной». Это реальность математических понятий в свободном порождении нашего мышления. Это — обнаружение той свободы математики, которую Кантор считает исключительной и наиболее характерной чертой математики как науки. В этом смысле, согласно разъяснению Кантора, «мы можем считать целые числа действительными постольку, поскольку они занимают на основе определений вполне определенное место в нашем рассудке, вполне ясно отличаются (курсив мой. — В. А.) от других составных частей нашего мышления, стоят к ним в определенных отношениях...» (16, 30). Эту сторону свои? размышлений Кантор называет «идеалистической» (16, 31). Но в основе «имманентной» реальности целых чисел лежит, по Кантору, реальность другого вида. Числам «можно приписать реальность также постольку, поскольку их следует рассматривать как выражения или отображения процессов и отношений во внешнем мире, противостоящем интеллекту, поскольку, далее, различные числовые классы... являются представителями мощностей, имеющих действительное место в телесной или духовной природе» (16, 30. Курсив мой. — В. А.). Эту сторону своих размышлений Кантор характеризует как «вполне реалистическую», а самое реальность этого типа называет «тран-зиентной реальностью целых чисел» (16, 30).

При этом Кантор не просто ставит оба эти вида «реальности» целых чисел один рядом с другим. Правда, он полагает, что математика в своем развитии совершенно свободна и связана только одним условием: ее понятия должны быть свободны от внутренних противоречий и должны находиться в неизменных, установленных определениями отношениях к понятиям, образованным раньше и уже наличным.

Развивая эти мысли, Кантор заключает, что при разработке своих идей математика «должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий и поэтому не обязана вовсе проверить также их транзиентную реальность» (16, 31).