Фундаментальным понятием для развитой Кантором теории множеств стало понятие «вполне упорядоченного множества». Под таким множеством Кантор понимает всякое строго определенное множество, элементы которого «связаны между собой некоторой определенной, данной наперед, последовательностью» (16, 8). Согласно этой последовательности: 1) существует первый элемент множества и за каждым отдельным элементом (кроме случая, если он последний в ряду) следует определенный элемент; 2) к любому — конечному или бесконечному — множеству элементов принадлежит некоторый определенный элемент— ближайший, следующий за всеми ними элемент в последовательности (кроме случая, когда вообще не существует элемента, следующего за всеми ними в последовательности) (см. 16, 8).

С помощью этого понятия «вполне упорядоченного множества» получаются, во-первых, основные действия для целых чисел — как для конечных, так и для определенно бесконечных — и, во-вторых, законы этих чисел. Кантор подчеркивает, что и действия и законы усматриваются при этом интуитивно — «из непосредственного внутреннего созерцания с аподиктической достоверностью» (16, 11. Курсив мой.— θ. Α.).

К этим своим новым понятиям Кантор пришел после долгих лет размышления, в течение которых он находился во власти традиционных взглядов на бесконечность. Анализ возражений, выдвигавшихся начиная с Аристотеля и затем схоластиков против понятия «актуальной бесконечности», внушил Кантору мысль, будто в основе всех этих возражений кроется ошибочная предпосылка о существовании одних только конечных чисел.

Не располагая понятием «вполне упорядоченного множества», нельзя было понять, что если множествам сообщен определенный закон, в силу которого они становятся «вполне упорядоченными» множествами, то при таком условии и с бесконечными множествами можно производить столь же определенные действия счета, как и со множествами конечными. Поэтому бесконечно большое рассматривали только в форме сходящихся бесконечных рядов, введенных уже в XVII в.