Введение новых целых чисел позволило Кантору, согласно его собственному заявлению, отчетливо сформулировать важное новое понятие его математики — понятие мощности (Mächtigkeit). Под «мощностью», или «количественным числом» какого-нибудь множества M (которое состоит из строго отличных, абстрактно-логически раздельных элементов m, m1... и которое постольку определено и отграничено), Кантор разумеет «общее или родовое понятие (universale), получающееся, если абстрагировать как от состава элементов множества, так и от всех отношений этих элементов друг к другу и к другим вещам, а в частности и от порядка, который может господствовать между этими элементами, и если иметь в виду лишь то, что обще всем множествам, эквивалентным Λί» (16, 104—105).

О двух множествах говорят, что они обладают одной и той же мощностью, «если между ними можно установить взаимно однозначное сопряжение элемента с элементом» (16, 6). Каждому строго определенному множеству присуща и определенная мощность. Но мощность конечных и бесконечных множеств различного рода. Мощность конечных множеств совпадает с количеством их элементов. В случае бесконечных множеств вопрос о точно определенном количестве элементов не имеет значения; в этом случае множество характеризуется мощностью, совершенно не зависящей от их порядка (см. 16, 6—7).

Исследования показали, что числовые классы определенно бесконечных реальных целых чисел представляют строго определенные множества с растущими в закономерной последовательности мощностями.

Между конечными и бесконечными множествами обнаружилось существенное различие. Конечное множество для любой последовательности, какую можно сообщить его элементам, представляет одно и то же количество. Но если множество состоит из бесконечно многих элементов, то такому множеству присущи, вообще говоря, различные количества в зависимости от последовательности, которая сообщается элементам. В то время как мощность множества не зависит от его расположения, количество бесконечного множества зависит от некоторой данной последовательности его элементов (см. 16, 9).