В новейшее время в геометрии и особенно в теории функций стало применяться новое понятие о бесконечности. При исследовании, например, аналитической функции и комплексной переменной величины стало необходимым и общеупотребительным воображать себе в плоскости (представляющей комплексную переменную) некоторую, и притом единственную, точку, лежащую в бесконечности, то есть бесконечно удаленную, но определенную. Оказалось необходимым исследовать поведение функции вблизи этой точки, как вблизи любой другой точки. При этом выяснилось, что поведение функции поблизости бесконечно удаленной точки дает совершенно такую же картину, какую дает ее поведение поблизости всякой другой точки, находящейся на конечном расстоянии. Отсюда Кантор сделал вывод большой принципиальной важности. Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно «мыслить... бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке» (16, 4). Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть «собственно-бесконечным» (Eigentlich-Unendliches), или «актуально бесконечным».

Под актуально бесконечным в отличие от потенциально бесконечного Кантор понимает (в работе «Теория ассамблей» (СНОСКА: Устарелый термин, вместо которого в современной математике применяется термин «теория множеств)) «некоторое замкнутое в себе постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин, количество...» (16, 85).

Еще полнее и яснее определение актуально бесконечного в работе «К учению о трансфинитном». Здесь актуально бесконечным Кантор называет «такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляетистинную--постоянную величину, а с другой— в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида» (16, 122). Пример актуально бесконечного — совокупность всех точек, лежащих на данной окружности. Это множество есть, по выражению Кантора, «некоторая вещь для себя и образует — отвлекаясь от натурального ряда относящихся сюда чисел — некоторое неизменное во всех частях и определенное количество.., которое, очевидно, приходится назвать большим, чем всякое конечное количество» (16, 122— 123).