Вразрез со взглядом всех этих ученых Г. Кантор признал, что наряду с «потенциальной бесконечностью» существует и должна исследоваться в математике также бесконечность «актуальная» (СНОСКА: Понятие это было введено чешским математиком и логиком Б. Больцано (1781—1848)).

Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное «означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ...» (16, 85). Математическое потенциально бесконечное Кантор называет «несобственно-бесконечным». Оно выступает в математике в форме дифференциалов первого или высших порядков, или в виде сумм бесконечных рядов, или в виде других предельных процессов. По разъяснению Кантора, «потенциально бесконечное» есть простое вспомогательное понятие нашего мышления. Это — «понятие отношения, которое, согласно своему определению, заключает в себе идею изменчивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать в собственном смысле слова: «datur» («дано».— В. А)» (16, 28). Оно «не означает само по себе никакой идеи» (16, 84). Кантор тут же оговаривается, -что и в этом своем смысле — как понятие отношения— потенциально бесконечное «благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислениям обнаружило свое огромное значение как средство познания...» (16, 84). Будучи лишь вспомогательным понятием, понятием отношения, оно «всегда указывает на некоторый лежащий в основе transfinitum («сверхконечное».— В. Л.), без которого оно не может ни быть, ни быть мыслимым» (16, 111).

Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия «потенциальной бесконечности». Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности «дурной бесконечностью» и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде «несобственно-бесконечного», принесли весьма большую пользу, так как они «доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых ив теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин» (16, 15). Больше того. Он находил, что все попытки насильственно превратить эти бесконечно малые в какие-то собственно-бесконечно малые «должны были бы быть оставлены, как бесцельные» (16, 15). Но как бы ни была велика ценность для науки «потенциальной бесконечности», эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной — то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.