ГЛΑΒΑ СΕДЬMAЯ. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ КАНТОРА И ИНТУИЦИЯ АКТУАЛЬНО БЕСКОНЕЧНОГО

Важным стимулом в ходе обоснования математики стало развитое Георгом Кантором (1845—1918) учение о множествах (Mengenlehre), Введенные Кантором в математику новые понятия: мощность множества, вполне упорядоченное множество и т. д., — различение потенциальной и актуальной бесконечности, учение о классах чисел и т. д. стали поводом для еще неизвестной в такой мере потребности в строгой логической выработке основных понятий математики. Особое значение имело то, что при этом в математике были обнаружены противоречия, возникшие в связи с канторовским учением о множествах.

Основоположным понятием математики Кантора явилось понятие «множества» (Menge) и соответственно основным учением — «теория множеств». Может быть, после разработки античными математиками понятия о числе (возникшего еще ранее — в цивилизациях древнего Вавилона, Египта, Индии, Китая), а математиками нового времени — понятия о функции введение понятия «множества» было самым значительным новым этапом в истории этой науки.

«Под... множеством, — разъяснял Георг Кантор, — я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...» (16, 69).

Именно разработка этого понятия о множествах привела Кантора к учению о потенциальной и актуальной бесконечности.

В современной Кантору и в ближайшей к нему по времени математике господствовал (хотя и не исключительно) взгляд, признававший только один вид бесконечных величин — величину, способную к безграничному увеличению. Это так называемая «потенциальная бесконечность». Мыслить бесконечность как завершенное в себе постоянное количество или как «актуальную бесконечность» современники Кантора и многие его предшественники отказывались. Уже великий немецкий математик К- Ф. Гаусс (1777—1855) решительно возражал против привлечения в математику в каком бы то ни было виде актуальной бесконечности. Отвергали актуальную бесконечность математики Жердиль (Gerdil), Коши (Cauchy), Муаньо (Moigno), а из философов — Зигварт, Куно Фишер (в своей «System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre», Heidelberg, 1865), французский кантианец Шарль Ренувье (Gh. Renouvier — в «Esquisse d'une classification systématique des doctrines philosophiques», v. I, Paris, 1885) и позитивисты.