«Нет никакого противоречия, — пояснял великий немецкий математик Георг Кантор, — в том, что — как это часто встречается в случае бесконечных множеств— два множества, из которых одно является частью или составной частью другого, имеют совершенно одинаковое количественное число» (16, 92). Уже древность знала и часто повторяла положение: целое больше своей части. Но, согласно Кантору, это положение можно применять без доказательства «лишь к сущностям, лежащим в основе целого и части. Тогда и только тогда оно является непосредственным следствием из понятий «totum» (целое.— В. А.) и «pars» (часть. — В. А.). К сожалению, эта «аксиома» применялась несчетное число раз без всякого основания и без необходимого различения «реальности» и «величины или числа» какого-нибудь множества» (16,141).«Аксиома» эта верна лишь для конечных множеств.

И действительно, совокупность четных чисел есть часть совокупности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. до бесконечности. И все же число элементов совокупности четных чисел не меньше, а равно числу элементов совокупности всех натуральных чисел, так как в совокупности натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. — каждому элементу этой совокупности будет соответствовать один элемент совокупности четных чисел:

1, 2, 3, 4, 5 и т. д.

2, 4, 6, 8, 10 и т. д.

Здесь число чисел второго ряда (число четных чисел) равно числу чисел первого ряда (числу всей совокупности натуральных чисел), так как каждому числу первого ряда может быть сопоставлено одно число второго ряда.

Однако все это «восстание» против интуиции, характерное для «чистого» логицизма, само зашло в тупик. Процесс «вытеснения» интуиции из математики, охвативший как геометрию, так и арифметику, встретился с неодолимыми трудностями. Не все принципы математики поддавались чисто логическому обоснованию, из которого было· бы исключено всякое обращение к интуиции. Что математика не может опираться на интуицию в ее кантовском понимании — на априорные формы «чистого» наглядного представления, — было доказано и стало совершенно ясно. Но интуиция не исчерпывалась только тем ее видом, который был указан Кантом. Можно было отвергнуть в качестве основы математики кантовскую форму интуиции и в то же время признать, что математика необходимо обращается к интуиции другого типа, например к «интеллектуальной интуиции» создателей математики нового времени — Декарта и Лейбница — или к какой-нибудь ее модификации.