<...>

где о<6<1 и α — число нечетное. В этом уравнении функция от А: определяется бесконечным рядом, стоящим в ее правой части. Эта функция характеризуется таким свойством, что она непрерывна, но не имеет производной ни для одного значения аргумента. Геометрически это значит, что кривая Вейерштрасса непрерывна, но ни в какой своей точке не имеет касательной: на любом конечном промежутке она имеет бесконечно большое число бесконечно малых колебаний.

Исследование Вейерштрасса имело принципиальное значение. Оно обнаружило, что для функции указанного вида невозможно интуитивно вообразить кривую линию, обладающую охарактеризованным свойством. В то же время стало ясно, что с помощью логических определений и операций анализа математика может систематически исследовать и точно представить свойства такой кривой.

В чем же коренилась — в этом случае, как и в других, — причина несостоятельности интуиции? Согласно разъяснению выдающегося немецкого математика Феликса Клейна, интуитивный образ линии есть не абстрактно геометрическая «длина без ширины», а некоторая узкая полоска. Какой бы она ни была узкой, но ее конечная, интуитивно воспринимаемая ширина поглощает неуловимые для созерцания тонкости строения идеализированного абстрактного геометрического образа.

Особенно много неточностей, обусловленных недостаточной логической строгостью доказательств и чрезмерным доверием к интуитивной очевидности, имеется как раз в первых теоремах (предложениях) «Начал Евклида». Уже первое предложение вводится без достаточного логического обоснования. Здесь для построения равностороннего треугольника на данном основании из обоих концов прямой проводятся окружности двух кругов с радиусом, равным данному основанию, а затем точка пересечения обеих окружностей соединяется с концами прямой. В построенном таким способом треугольнике все его стороны равны, так как точка пересечения окружностей есть конец их радиусов, равных основанию. Бездоказательность этого построения в том, что оно покоится на интуитивно принимаемом допущении, будто круги, полученные вращением основания вокруг обоих его концов, необходимо пересекаются. Но ни одна из принятых Евклидом аксиом не содержит доказательства этого допущения. К тому же последующее развитие математики открыло много типов пространства, таких, что круги, проведенные в них указанным способом, отнюдь не всегда пересекаются. В конце концов в первых восьми предложениях Евклида оказалось столько недочетов в логическом обосновании выводимых положений, что, учитывая их, Рассел пришел даже к заключению, что Евклид «имеет теперь только исторический интерес» и что его великая книга, не обладающая ни качеством легкой понятности, ни качеством совершенной математической точности, «не заслуживает того места, которое занимает Евклид в нашей образовательной системе» (14, 101).