Но как бы то ни было, однажды начавшись, исследование пятого постулата Евклида сыграло важную роль. Оно обнаружило недостаточность интуитивной очевидности как средства построения геометрии и вообще математики. Оно выявило, что в расчленении античного математического доказательства только одна из составных частей представляет логическую операцию, все остальные относятся либо к чертежу, то есть интуитивно представляемому образу, либо к словесному способу выражения (см. 13, 255).

Освобождение от некритического доверия к чувственной интуиции было важным условием успеха в трудном деле строгого обоснования математики. В особенности в математике XIX в. увеличилось число строго доказанных (аналитически) положений, которые представлялись противоречащими непосредственным данным интуиции и потому подрывающими ее значение для обоснования науки. «Открытие непрерывных функций, не имеющих производных, которым в аналитической геометрии отвечают непрерывные кривые, не имеющие касательных, доказательство возможности изобразить кривую на сплошной площадке, становящаяся все более ясной недостаточность старого взгляда на числа, в особенности на иррациональные числа, развитие понятия о непрерывности и учения о сходимости рядов, а также целый ряд других обстоятельств,—-писал И. Велыытейн в «Основаниях геометрии», — привели к тому, что подорвали в корне слепую веру в надежность наших чувственных представлений и создали в математике критическое направление» (20, 9).

С возникновением математики нового времени в логическом обосновании математических истин был достигнут большой прогресс. Интуиции, как уже сказано, сыграли важную роль при первоначальном возникновении некоторых математических понятий. Например, интуитивно представляемые образы кривой с касательной к ней в каждой ее точке, а также движения точки с определенной скоростью в каждый момент привели к возникновению важных понятий непрерывности и производной. Когда же эти понятия возникли и получили строгое логическое обоснование, оказалось, что они ведут к следствиям, логически необходимым, но уже совершенно недоступным для интуиции. Так, Вейерштрасс указал уравнение некоторой кривой: