Однако слишком долго такое положение вещей продолжаться не могло. Развитие анализа и геометрии требовало строгого логического обоснования. Это обоснование было осуществлено в XIX в. в трудах великих математиков начиная от Гаусса и Коши и кончая Вейерштрассом (см. 10, 7 и ел.).

Успехи логического обоснования математики XIX в. уменьшали значение интуиции в развитии математического знания. Интуиция оказывалась не только недостаточным основанием науки. Было выяснено, что доверие, с каким относилась к интуиции античная математика, привело к признанию положений, которые оказались просто ошибочными. Очевидность вступала в противоречие не только с точностью, но и с самой истиной.

Роковым в деле развенчания роли интуиции, точнее, в развенчании взгляда, приписывавшего ей безусловное значение, оказалось, во-первых, развитие теории параллельных в геометрии, во-вторых, открытие кватернионов. В первой книге «Начал Евклида» вводится определение параллельных (опр. 23): «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой «стороны» между собой не встречаются». Вслед за этим определением Евклид формулирует знаменитый пятый постулат (иначе — одиннадцатую аксиому). Постулат этот гласит: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых» (13, 15). Из определения и постулата видно, что через точку параллельно прямой в одной с нею плоскости можно провести некоторую линию, и притом только одну.

Евклидовы определение и постулат параллельных вполне соответствовали интуитивно-логическому характеру античной геометрии и в то же время выводили за ее пределы. С одной стороны, пятый постулат как будто опирался на интуитивную очевидность. С другой стороны, определение параллельных указывало признак, в отсутствии которого возможно удостовериться только при продолжении прямых в бесконечность. Это усмотрение было уже недоступно интуиции. Так как античному сознанию было чуждо понятие о бесконечности, то уже античные математики стали искать доказательства пятого постулата. Они искали их не потому, что интуитивная очевидность самого постулата казалась им сомнительной, а потому что они не могли принять его формулировку, предполагавшую чуждые им понятия (об этом см. примечания к I—VI книгам «Начал Евклида», составленные Д.Д. Мордухай-Болтовским, стр. 236 и ел.).