Но на пути к указанному построению математики стояли немалые препятствия и трудности. Необходимо было осознать недостаточность и ненадежность интуиции, на которой основывалась античная математика и математика нового времени. Сознание это пришло не сразу. Бертран Рассел в статье «Новейшие работы о началах математики» («International Monthly», July, 1901; русский перевод (1917 г.) в «Новых идеях в математике», Сборник первый, см. 14, 82—103) показал, что на начальных стадиях развития математики интуитивная ясность и очевидность способна была приводить и порой приводила к заблуждениям. На ранней стадии науки «каждое предложение представляется самоочевидным, и поэтому трудно видеть, следует ли одно самоочевидное предложение из другого или нет» (14,85). Возникает нетерпимое в своей парадоксальности положение: очевидность вступает во вражду с точностью (см. 14, 85). И действительно: часто «нисколько не является самоочевидным, что одно очевидное предложение вытекает из другого очевидного предложения» (14, 85). Поэтому доказательство такого положения вовсе не пустое и праздное занятие. Напротив, доказывая очевидное, математика тем самым открывает «действительно новые истины» (14, 85). Поэтому возникновение математики нового времени (аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление) должно было со временем привести не только к расширению области предметов науки, но и к большей строгости в требованиях, предъявляемых доказательности, логическому построению, логической безупречности дедукций. Только на первых порах развития науки важность и необходимость расширения области открытых истин и обусловленная этой необходимостью энергия исследования брали верх над заботой о логической выработке новой математики. «Великие изобретения семнадцатого столетия ·— аналитическая геометрия и исчисление бесконечно малых, — поясняет Рассел, — были так богаты плодотворными результатами, что математики не имели ни времени, ни желания для точного обоснования этих доктрин» (СНОСКА: Вряд ли они смогли бы представить это обоснование, даже если бы обладали в избытке и желанием сделать это, и необходимым временем. Отсутствие потребности в строгом обосновании математических доктрин было в то время обусловлено уровнем развития самой математики) (14, 102).