Это относится и к самому измерению, которое также является производным понятием. Интересно проследить, как дети спонтанно научаются измерять. Д-р Инельдер, одна из моих сотрудниц, и я провели следующий эксперимент: мы показывали ребенку башню из блоков, стоящую на столе, и просили его построить другую башню такой же высоты на другом столе (который был ниже или выше первого) из блоков разного размера. Конечно, мы снабжали ребенка всеми необходимыми измерительными инструментами Попытки ребенка решить эту задачу проходят поразительную эволюцию. Самые младшие дети строят вторую башню до того же визуального уровня, что и первая, не заботясь о различии в высоте столов. Они сравнивают башни, отступая назад и просматривая их верхушки единым взором. На несколько более высоком этапе развития ребенок кладет на верхушки башен длинный стержень, чтобы удостовериться в том, что они на одном уровне. Несколько позже он замечает, что основание его башни находится не на том уровне, что основание модели. Тогда, чтобы уравнять их, он хочет поместить свою башню рядом с образцом, на том же столе. Вспомнив, что правила игры запрещают передвигать его башню, он начинает оглядываться в поисках средств измерения. Интересно, что первое, приходящее ему на ум — это его собственное тело. Он кладет одну руку на вершину свой башни, другую — на ее основание и затем, пытаясь сохранить неизменное расстояние между руками, направляется к другой башне, чтобы сравнить это расстояние с нею. Дети около 6 лет делают это весьма уверенно — так, как если бы их руки не могли изменить положен по пути! Вскоре они обнаруживают, что метод не надежен, и тогда прибегают к проекции точек башни на свое тело. Ребенок соотносит свои плечи с вершиной своей башни, против ее основания отмечает рукой точку на своем бедре и направляется к модели — посмотреть, является ли расстояние тем же. В конце концов ребенку приходит мысль о независимом измерительном инструменте, его первая попытка в этом направлении заключается в том, чтобы построить рядом третью башню такой же высоты, как и та, что он уже воздвиг. Построив эту третью башню, он пододвигает ее к первому столу и ставит рядом с моделью; это допускается правилами. Достижение ребенком этой стадии предполагает процесс логического рассуждения. Если мы назовем башню образец А, вторую башню С, а перемещаемую башню В, то ребенок рассуждает так: В = С и В = А, поэтому А = С. Позднее ребенок замещает третью башню стержнем, но сначала стержень должен быть точно такой же длины, как высота башни, подлежащей измерению. Затем он постигает идею использовать более длинный стержень, на котором отмечает пальцем высоту башни. Наконец - и это начало настоящего измерения — он понимает, что может использовать более короткий стержень и измерить высоту башни, откладывая стержень по ее стороне известное число раз. Последнее открытие содержит, две новые логические операции. Первая - это процесс разделения, который позволяет ребенку понять, что целое состоит из некоторого числа сложенных вместе частей. Вторая — это операция смещения или замещения, которая позволяет ему присоединить одну часть к другой и таким путем создавать систему единиц. Поэтому можно сказать, что измерение есть синтез разделения на части и замещения, подобно тому, как число есть синтез включения категорий и сериального порядка. Но измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что труднее разделить непрерывное целое на взаимозаменяемые единицы, чем перечислить уже разделенные элементы. Чтобы изучить измерение в двух направлениях, мы даем ребенку большой лист бумаги с карандашной точкой на нем и просим поставить точку в том же месте па другом листе такого же размера. Ребенок может воспользоваться палочками, полосками бумаги, веревочками, линейками или любым другим измерительным инструментом, в котором он нуждается. Самые младшие испытуемые довольствуются визуальным приближением, не пользуясь никакими орудиями. Позднее ребенок пользуется измерительным инструментом, но измеряет только расстояние точки от основания или бокового края листа и очень удивляется, что это единичное измерение не дает ему правильного положения точки. Тогда он измеряет расстояние точки от угла листа, пытаясь сохранить тот же наклон (угол) линейки на своем листе. Наконец, в возрасте около 8 или 9 лет он открывает что должен разделить измерение на две операции: горизонтальное расстояние от боковой стороны и вертикальное расстояние от основания или верхнего края. Сходней опыт с бусами в ящике показывает, что ребенок открывает трехмерные измерения приблизительно в том же возрасте.