К тому времени, когда ребенок образует представление о проективном пространстве, он также строит и эвклидово пространство; оба построения опираются друг на друга. Так, например, выстраивая ряд столбиков ограды, он может воспользоваться не только методом просмотра, но вытянуть параллельно обе руки, давая этим направление ограде. Он применяет понятие о сохранении направления, которое является эвклидовым принципом. Здесь мы имеет еще одну иллюстрацию того факта, что дети образуют математические понятия на качественном или логическом основании. Принцип сохранения образуется в разных формах. Первой является сохранение длины. Если вы положите один блок на другой такой же длины, а затем выдвинете один блок так, чтобы его конец выходил за границы другого, то ребенок в б лет будет утверждать что оба блока уже не равны по длине. Не ранее чем около 7 лет ребенок начинает понимать, что то, что блок выигрывает на одном конце, он теряет на другом. Нужно отметить — ребенок приходит к этому понятию о сохранении длины путем логического заключения. Экспериментальное изучение того, как ребенок открывает сохранение расстояния, особенно показательно. Между двумя маленькими игрушечными деревьями, стоящими на расстоянии друг от друга, вы помещаете стену из блоков или куска толстого картона и спрашиваете ребенка (конечно, на его языке), находятся ли теперь деревья на том же расстоянии друг от друга. Самые маленькие дети думают, что расстояние изменилось; они просто не могут сложить две части расстояния в одно общее расстояние. Дети 5 или б лет думают, что расстояние уменьшилось, указывая на то, что ширина стены не считается расстоянием; иными словами, заполненное пространство не имеет для них такого же значения, как пустое пространство. Только в возрасте около 7 лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные предметы не меняют расстояние. Как бы вы ни проверяли, вы всегда обнаруживаете следующее: дети не доходят до принципа сохранения длины или поверхности, пока — где-то около 7 лет — не открывают обратимости, которая показывает, что первоначальное количество остается тем же (например, выравнивание блоков одинаковой длины, устранение стены и т. д.). Таким образом, открытие логических отношений является предварительным условием образована геометрических понятий, как это имеет место и при образовании понятия о числе.