Измерение в двух или трех направлениях приводит нас к центральной идее эвклидова пространства, а именно к идее осей координат - системы, основанной на горизонтальности или вертикальности физических объектов. Может показаться, что даже маленький ребенок должен был бы понять эти представления, ибо в конце концов он может различить между положениями «прямо вверх> и «лежащее внизу». Но в действительности представление о вертикальных и горизонтальных линиях поднимает совсем другой вопрос об этом субъективном сознании постурального пространства. Д-р Инельдер и я изучали его с помощью следующих опытов: показывая сосуд, наполовину наполненный окрашенной водой, мы просили маленьких испытуемых сказать, каков будет уровень воды, если наклонить сосуд так или иначе. Не ранее 9 лет ребенок постигает  идею горизонтальности и. начинает отвечать правильно. Сходные опыты с отвесом или с игрушечной парусной лодкой с высокой мачтой демонстрируют, что понимание вертикальности появляется примерно в то же время. Такое запаздывание в приобретении ребенком этих понятий в действительности не удивительно, так как эти понятия требуют, чтобы ребенок уловил не только внутренние отношения объекта, но также его отношения к внешним элементам (например, к столу, полу или стенам комнаты).

Когда ребенок уясняет себе, как строить эти оси координат по отношению к естественным объектам (что наступает приблизительно в то же время, когда он овладевает координацией разных перспектив), он также достигает понимания того, как надо изображать пространство. Но к этому времени он развивает и свои основные математические понятия, которые возникают спонтанно из его собственных логических операции. Описанные мною опыты, как они ни просты, были удивительно плодотворны и выявили много неожиданных фактов. Эти факты бросают яркий свет на многие вопросы психологии и педагогики; более того, они учат нас многому о человеческом познании вообще.