Где Рi(х) — вероятность ответа "да" на i-й пункт, α — дифференцирующая сила" задания, х — величина свойства, β — "трудность" задания.

Вероятность ответа на пункт теста описывается функцией, изображенной на графике.

Где F(x) — величина i-гo задания, Р(х) — вероятность ответа на i-e задание.

Модель нормальной есть обобщение модели латентной дистанции. В ней вероятность ответа на задание такова:

Где L(x) — плотность нормального распределения. В логистической модели вероятность ответа на задание описывается следующей зависимостью:

распределения.

Логистическая модель используется наиболее широко, так как она специально предназначена для тестов, где свойство измеряется суммированием баллов, полученных за выполнение каждого задания с учетом их весов.

Логистическая функция и функция нормального распределения тесно связаны:

(здесь Ф(х) — кумулятивная функция нормального распределения). Развитием ЛСА являются различные модификации Item Response Theory. В IRT распределения переменных на оси латентного свойства считаются непрерывными, т.е. модель латентного класса не используется.

База для IRT — это модель латентной дистанции. Предполагается, что и индивидов, и задания можно расположить на одной оси "способность — трудность", или "интенсивность свойства — сила пункта". Каждому испытуемому ставится в соответствие только од но значение латентного параметра ("способности").

В общем виде вероятность ответа зависит от множества свойств испытуемого, но в моделях IRT рассматривается лишь одномерный случай.

Главное отличие IRT от классической теории теста в том, что в ней не ставятся и не решаются фундаментальные проблемы эмпирической валидности и надежности теста: задача априорно соотносится лишь с одним свойством, т.е. тест заранее считается валидным. Вся процедура сводится к получению оценок параметров трудности задания и к измерению "способностей" испытуемых (образованию "характеристических кривых").