3. Симметричность. Отношение R называется симметричным, если для любой пары из К выполняется (u(si) u(sj))ÎR Û (u(sj) u(si))ÎR, где символ Û означает "тогда и только тогда, когда". Пример симметричных отношений: "быть одинаковым с", "принадлежать к тому же множеству, что и".

4. Асимметричность. Отношение R называется асимметричным, если для всех пар из К выполняется (u(si) u(sj))ÎR Û (u(sj) u(si))ÏR. Примеры отношений: "быть лучше", "быть старше".

5. Антисимметричность. Отношение R называется антисимметричным, если для пар

(u(si)u(sj))ÎR; (u(sj) u(si))ÎR Þ u(si) = u(sj). Частный случай антисимметричного отношения - асимметричное. Примеры отношений: "не меньше", "не ниже".

6. Транзитивность. Отношение К называется транзитивным, если для пар (u(si) u(sе))ÎR;

(u(sе) u(sj))ÎR Þ (u(si) u(sj))ÎR. Примеры отношений: "Если si лучше se, а sl лучше sj по какому-либо качеству (характеристике u), то si лучше sj".

7. Линейность (связность). Отношение R называется линейным, если для двух элементов

(u(si) u(sj))Îu либо (u(si) u(sj))ÎR, либо (u(sj) u(si))ÎR, либо одновременно (u(si) u(sj))ÎR и (u(sj) u(si)) Î R.

В теории бинарных отношений пока нет единой классификации всех порядков (отношений предпочтения). При представлении множества U в матричной форме выделяют следующие классы порядка:

а) I - класс отношений безразличия, характеризуемых свойствами рефлексивности и симметричности;

б) P - класс отношений строгого предпочтения, обладающих свойствами антирефлексивности и антисимметричности;

в) R - класс отношений слабого предпочтения, образующийся путем теоретико-множественной операции объединения классов I и P: R=IUP; т.е. допускается наличие как строгих предпочтений, так и безразличия.

При представлении множества U в виде графа используется следующая классификация отношений:

1. Порядок - если нет ни одной пары равноценных элементов, т.е. нет ни одной пары встречных дуг на диаграмме ориентированного графа. Строгий порядок - если при существовании отношений порядка на графе нет ни одной петли, нестрогий порядок - если есть хотя бы одна петля. Линейный порядок - если каждый элемент сравним с каждым другим (каждая вершина графа связана с каждой хотя бы одной дугой), частичный порядок - если есть хотя бы одна пара несравнимых элементов (хотя бы одна пара вершин графа не связана между собой).