его охватывает священный трепет.

Альберт Эйнштейн

Короче говоря, результаты прохождения разных субтестов rs могут (и должны) иметь разные относительные веса ps , отражающие как относительную важность данного субтеста среди остальных, так и сложность представленных там заданий. Веса субтестов применяют, например, когда вычисляют скалярный рейтинг путем простого суммирования результатов прохождения субтестов по формуле:

. (3)

Если автор теста не считает нужным различать важность и сложность заданий, он принимает все веса равными единице. Чаще всего, авторы приписывают заданиям веса необъективно, волюнтаристски, опираясь только на свой опыт и здравый смысл.

В пространстве результатов можно определить т.н. метрику, или формализованное расстояние между результатами разных участников тестирования:

. (4)

В отличие от случая работы со скалярным рейтингом (3), где расстояние между результатами участников является простой разностью рейтингов, в n-мерном случае расстояния можно определять по-разному, в соответствии с целями тестирования.

Нетрудно понять, что при подстановке в (4) вместо одного из векторов нулевого вектора, мы получим величину (длину) другого вектора. Смысл этой длины может быть разным.

Длина вектора рейтинга не имеет такой же роли, как величина скалярного рейтинга. В векторном случае значительно важнее знать не длину вектора рейтинга учащегося, а расстояние от него до вектора «идеального» рейтинга Идеальный рейтинг – это рейтинг «идеального» учащегося, который выполнил абсолютно верно все задания теста.

Чем меньше расстояние от вектора рейтинга учащегося до вектора «идеального» рейтинга, и чем больше расстояние от вектора рейтинга учащегося до области «наиболее вероятного» результата, тем более высоко следует оценить знания учащегося.

Поэтому для того, чтобы распределить учащихся на группы в соответствии с их выявленными качествами, необходимо, в первую очередь, вычислить расстояния между всеми вычисленными векторными рейтингами.

Спорим, что тринадцать одинаковых шаров,

как их не расположи – не могут касаться еще одного шара!

Исаак Ньютон

После вычисления расстояний между рейтингами всех участников, можно попытаться сгруппировать результаты участников так, чтобы расстояния между результатами каждой группы были меньше, чем расстояния до результатов других групп. Это делается с помощью методов факторного анализа. С помощью факторного анализа можно подобрать метрику (4) и величины весов ps так, чтобы группы результатов были более отчетливы, более разделены между собой. Поскольку такое разделение можно сделать строго математически, без привлечения дополнительной эмпирической информации, результаты его можно признать объективными.