В главах о письменной речи, о памяти, арифметике, о произвольном внимании - везде мы могли установить тот же самый принцип, который, если его продумать и разработать до конца, должен привести к глубокой перестройке всего педагогического и методического исследования в области культурного воспитания ребенка.

Напомним в качестве примера знаменитый, но не решенный до сих пор методический спор об арифметике: как надо вести ребенка к усвоению счета - через счет или через числовые фигуры? Вспомним, на чем покоилась неразрешимость спора. С одной стороны, можно считать экспериментально доказанным положение Лая, что восприятие числовых фигур легче, натуральнее, более свойственно ребенку и приводит к лучшим и более быстрым результатам в его обучении. С другой стороны, оно как будто бы ничего не дает для обучения арифметике в собственном смысле слова.

С нашей точки зрения, которую мы старались изложить в главе об арифметике, это парадоксальное положение разрешается просто и ясно. Нельзя не признать, что числовые фигуры, которыми оперировал Лай, действительно отвечали развитию арифметических операций в дошкольном возрасте и поэтому оказывались наиболее легкими и доступными для детей, поступающих в школу. Поэтому вывод Лая, что школьное обучение, которое хочет считаться с особенностью развития ребенка, не может не учитывать этого обстоятельства, несомненно правилен. Путь к овладению количеством лежит для ребенка через восприятие числовых образов. И сколько бы противники Лая ни утверждали, что между школьной арифметикой и восприятием числового образа лежит бездна, что их разделяют принципиальные признаки и что числовой образ сам по себе, даже развитый до максимума, не способен привести ребенка к восприятию самой элементарной арифметической единицы, все эти утверждения, несмотря на их справедливость, не могут поколебать основного положения Лая: ребенок идет к арифметике через восприятие числового образа, и миновать этот путь не может школьное обучение.

Все дело в том, что разрыв, бездна, принципиальная разница, существующая между восприятием числового образа и числовым рядом, существует и в самом развитии ребенка. Ребенок должен перейти ее для того, чтобы очутиться на другом берегу; следовательно, он должен подойти вплотную к провалу и как-то преодолеть его. Важнейшей ошибкой Лая было утверждение, что путь через числовой образ может вывести ребенка к пониманию числа и современной арифметике. Для этого Лаю пришлось сконструировать чисто априорное понимание числа и операций с ним. Его второй ошибкой было то, что он игнорировал принципиальное различие между одной и другой арифметикой и, строя культурную арифметику по образцу примитивной, изобразил ее как априорную.