Чтобы закончить с дошкольной арифметикой, придется указать на последний этап, который проходит ее развитие. Довольно скоро ребенок старшего возраста натыкается на то, что способ деления при помощи «тракторов», «часов» все-таки отвлекает и силы, и внимание, и время от непосредственной задачи, стоящей перед ним. Ребенок наталкивается на арифметические трудности, одна из которых заключается в том, что остаток превышает делитель. Тогда ребенок переходит к другой, более простой форме операций. Он начинает в качестве основного вспомогательного средства пользоваться не такими конкретными формами, как «тракторы», «часы», а известными пространственными, абстрактными формами, которые соответствуют количеству и могут делиться по единицам.

Насколько нам удалось проследить, это, видимо, последний этап в развитии дошкольной арифметики. Мы не можем сказать, по каким путям пошло бы дальнейшее развитие, если бы ребенок был предоставлен самому себе, если бы он не попадал в школу и не обучался нашей системе счета, если бы он дальше развивался естественным, натуральным путем. Практически мы не наблюдаем этого. Почти всегда возникают чрезвычайно ответственные моменты в развитии ребенка, всегда происходит столкновение его арифметики с другой формой арифметики, которой его обучают взрослые. Педагог и психолог должны знать, что усвоение ребенком культурной арифметики является конфликтным.

Иначе говоря, здесь развитие заключается в известном переломе, в известном столкновении, в известной коллизии между теми формами оперирования с количеством, которые ребенок выработал сам, и теми, которые ему предлагают взрослые. До сих пор психологи и математики делятся на два лагеря. Одни говорят, что процесс усвоения арифметики идет более или менее по прямой линии, что дошкольная арифметика подготавливает школьную совершенно естественно, как лепет ребенка подготавливает его речь. Школьный учитель только направляет ребенка и толкает его дальше в том же направлении. Другие методисты утверждают, что процесс протекает совсем иначе. От дошкольной стадии к школьной происходит известный перелом, переход с одного пути на другой. Это смещение знаменует собой поворотный пункт в арифметическом развитии ребенка.