Еще один в высшей степени важный момент заключается в следующем. У нас остаток не может быть больше делителя; у детей бывает иначе. Ребенок осуществляет раздачу при помощи «тракторов». Деление заключается в следующем: дети сразу отбирают по нескольку «тракторов» или «часов». На каждый трактор уходит шесть шашек, а участников игры четыре. Представьте, что у ребенка в результате остается пять шашек. Можно ли разделить их между четырьмя детьми? Можно, но из пяти шашек нельзя построить трактор; в результате для ребенка пять шашек - число, превышающее делитель, оказывается в остатке. Это - величина, которую при данном способе деления невозможно разделить.

В указанном факте мы видим экспериментальное доказательство того, что такое деление есть уже опосредованная операция. Можно отказаться разделить между четырьмя участниками пять шашек и рассматривать их как остаток. Но здесь.^ребенок делает не на глаз, он выбирает известную фигуру - трактор или часы, которая служит какой-то мерой как единица. И если единица состоит из шести шашек или кубиков, то пять шашек оказываются в остатке, т. е. создается ситуация, которая невозможна при непосредственной арифметике.

В переходе от непосредственной арифметики к опосредованной, от реакции на глаз к реакции, которая в качестве вспомогательного средства прибегает к трактору, часам, палочкам, заключается самый важный момент в арифметическом развитии ребенка.

Наблюдения Раншбурга и его учеников над глубоко отсталыми детьми показали, что у этих детей трудно вызвать переход от непосредственной реакции на количество к реакции, привлекающей в качестве подсобного средства ту фигуру, которая служит единицей. Оказывается, наша десятичная система затруднительна и почти непостижима для глубоко отсталых. Выше первого десятка такой ребенок не идет. Система как таковая им не усваивается. Как говорит Раншбург, в развитии ребенка имеется важный симптом, по которому можно предугадать, как пойдет усвоение арифметики. Если ребенок не прибегает к тем приемам деления, о которых я говорил, то есть все основания ожидать, что он окажется неспособным к восприятию культурной арифметики. Основная культура в развитии счета заключается в том, что происходит переход от непосредственного восприятия количества к опосредованному, к тому, что ребенок начинает приравнивать количества к известным знакам, оперировать с такими знаками.