Глава восьмая. Развитие арифметических операций.

Известно, что принцип упорядочения, т. е. придания количеству известной структуры, дающей возможность охватить определенное множество на глаз, остается до сих пор основньм принципом психологии операций с множеством. Мы гораздо легче заметим отсутствие солдата в роте солдат, чем отсутствие человека в неупорядоченной толпе. Если мы слушаем песню или стихи и если выпадает один такт или один слог, то, хотя мы и не знаем этих тактов или слогов, но непосредственно на слух мы почувствуем пропуск. Так поступает и ребенок. Он берет неупорядоченную кучу предметов, строит их в ряды, как бы роту солдат, и сразу видит, что одного не хватает. Дети понимают служебное значение упорядочения. Это выражается в следующем. Дети, которые привыкли строить из кубиков, очень рано начинают проверять результаты деления тем, что из кубиков или шашек строят предметы, например складывают модель трактора. Все дети складывают так же, и каждый видит, хватило ли кубиков на трактор. Дети сверяют результаты деления просто по тракторам. Примечательно, что дети относятся к складыванию фигур не как к самоцели, но как к арифметической игре, а именно как к средству и доказательству. Если все складывают трактор, а один ребенок говорит: «Я сложил часы», - то дети будут требовать, чтобы он сломал свои часы и сделал трактор. Надо, чтобы было сложено что-то сравнимое. Это уже единица исчисления. Дети протестуют, когда все складывают трактор, а один - часы. Они видят, что этим они лишаются средства проверить, что здесь нет общего знаменателя.

Еще интереснее те случаи, когда в эксперименте мы затруднили момент проверки. Детям нужно было разделить ряд карандашей различного цвета, формы и величины. Это - не кубики, не щащки, которые совершенно одинаковы и из которых легко сложить трактор. Дети поступают так, как с точки зрения их арифметики совершенно правильно, а с точки зрения нашей -  неверно. Они начинают с того, что раскладывают группы карандашей, - все они оказываются разными. Дальше дети пытаются уравнять эти группы. Один карандаш выше, другой ниже... И тут дети начинают складывать из карандашей палочки. Все карандаши укладываются в одну палочку и каждый получает по такой палочке. Но у одного будет пять коротких, а у другого - две длинные. С точки зрения арифметики это неправильное деление, а с формальной точки зрения, к которой прибегает ребенок, -  правильное.