Я кратко упоминаю об этой проблеме для того, чтобы на ее примере показать, как увязывается такая постановка проблемы с философскими вопросами. Хочу даже углубить свою мысль. Как обстоит дело с теорией познания и логикой? Теория познания в течение столетий исходила из того, что мир состоит из суммы элементов и связей между ними (Юм, Кант). Играла роль и догма о бессмысленной сумме, хотя у Канта есть многое, что очень позитивно связано с нашими проблемами. Что дает нам традиционная логика, чему она учит? Есть понятия, которые, если посмотреть ' строго, являются суммой признаков; есть классы, которые представляют собой какие-то «мешки», которые вмещают их, и силлогизмы, которые состоят из любых случайно связанных между собой двух предложений, если только они имеют что-то общее, и т. д. Если подумать внимательно и сравнить эти положения традиционной логики с действительным понятием, как оно выступает в живом мышлении, с процессом заключения, как оно осуществляется в действительности, если подумать, что является решающим в математическом доказательстве, во взаимосвязях вещей, то увидим, что с помощью категорий традиционной логики здесь ничего не сделано. Я попрошу вас серьезно подойти к проблеме, которую можно охарактеризовать так: то, что мы имеем в традиционной логике,- это ряд искусственных построений по принципу элементного подхода. Встает задача, которая относится к числу трудных: как вообще принципиально возможна логика, которая не основывается на элементах. Все, что имело место до сих пор в тех или иных попытках, нельзя сравнить по строгости с тем, что сделала своим способом традиционная логика. Еще одна яркий пример для доказательства. В целом ряде наук мы имеем теперь такую тенденцию: элементарная методика достигла своей кульминации, а появляющиеся при этом трудности хотят преодолеть путем приложения сил из других областей. Подумайте об этих удивительно прекрасных взлетах, которые наблюдаются в математической аксиоматике, например в работах Гильберта. То, что означает для науки выяснить принципиальные ее основания, и в то же время то, что делает Гильберт, характеризуются, с одной стороны, как сильнейшая компенсация элементарного подхода. Поговорить бы об этом с Гильбертом и спросить: можно ли составить сумму из самых бессмысленных аксиом? На что он, вероятно, ответит: от этого меня хранит мое математическое чувство. Встает более общий вопрос: можно ли основывать математику на элементах и как должна выглядеть математическая система, которая не основывается на элементах? Мы видим все больше тех математиков, которые склоняются к работе в этом новом направлении. Но они почти всегда возвращаются к элементное™. Это как рок, который постигает многих, так как дрессировка в области поэлементного мышления слишком сильна. Возникает ситуация, для которой характерна внутренне неразрешимая проблема: с одной стороны, признают и серьезно доказывают, что известные основания в математической аксиоматике являются поэлементными, с другой стороны, в ней находят определенные намеки, которые указывают на другую закономерность, и тогда пытаются внести изменения. Но проблема лишь тогда может быть схвачена научно, когда открывается основание для позитивных решений. Как может выглядеть такое основание? Это для многих математиков кажется еще большой проблемой, которая, вероятно,, разрешима, если рассматривать современные проблемы, например, в свете квантовой теории.