Правда, здесь еще необходимо выяснить, при каких условиях знаки того или иного рода могут выступать в роли исключительно объектов. Оперирование знаками как объектами было очень четко выявлено Давидом Гильбертом и исследовалось им. Это превращение знаков формы в знаки-объекты является вторым непременным условием формального вывода и формализации теорий.

Представьте себе двухплоскостную систему, в которой знаки верхней плоскости приобретают строго определенные единственные значения, независимые от их реальной отнесенности к объектам и содержаниям нижней плоскости. При этом условии они могут быть оторваны от нижней плоскости и стать объектами. Если это произошло, то мы можем сформулировать некоторые общие правила движения в знаках-объектах, независимые от их реального содержания, и поместить эти правила как бы над системой этих значков. Тогда все движения в них, все преобразования будут совершаться совершенно формально в соответствии с правилами. На этом построена вся работа по формализации систем знания.

Таким образом, вся область рассуждений разбита нами теперь на две подобласти. Во второй – находится особый вид рассуждений: выводы. Силлогистика Аристотеля является видом выводов. Таким образом, мы приходим к двум группам вопросов:

1.        какой же будет структура неформализованных рассуждений и как ее изображать?

2.        что представляют собой другие виды формализованных рассуждений, отличные от силлогистики, и как они исследовались в истории науки?

Начнем со второго вопроса. В период, когда строил свою логику Аристотель, математика еще не имела такого развития, какое она получила в дальнейшем. Поэтому ее удельный вес в общей системе рассуждений был невелик. Аристотель формализовал широко распространенную словесную часть рассуждений, и в то время казалось, что таким образом охвачена вся основная часть рассуждений.

Но в дальнейшем, когда начала развиваться математика, то она, по сути дела, занималась тем же самым, чем Аристотель занимался для словесных рассуждений. При этом вполне возможно, что математики принимали в качестве нормы для своей работы схемы, выработанные Аристотелем, а возможно, что и нет. Во всяком случае продукт получился такой же: некоторые правила для построения выводов, содержащих символы математики. Можно сказать, что область, захваченная математикой, это область формализации других, не силлогистических выводов.