Ребенок постоянно сравнивает самого себя с каждой вещью. Он интересуется очень большими предметами и еще больше очень маленькими, над которыми он может господствовать и испытывать свое могущество. Он подолгу теребит в своих маленьких пальчиках какие-то крошки и расчленяет насекомых, которых ему удается схватить. Размеры вещей начинают располагаться вокруг него как бы островками, причем ребенок пытается понемногу совместить их друг с другом. Склонность, испытываемая ребенком к гигантам и карликам, проистекает главным образом из их отношения к его собственным размерам; они составляют вместе с ним некую структуру, основанную на контрасте. Их противопоставление (мальчик с пальчик и людоед) кладет начало ряду, в котором ребенок пытается заполнить пустоты. В тот момент, когда действительная реальность и конкретные интуиции не будут ежеминутно необходимы для практического или мысленного восполнения пустот, величина из непосредственно воспринимаемого явления превратится в категорию.

Переход от восприятия к категории или, вернее, их чередования и комбинации наиболее очевидны в обучении и в использовании исчисления. Начало овладения счетом в возрасте от 3 до 5 лет совершается чрезвычайно медленно. Появляются отдельные наметки, вначале не связанные между собой. Ребенок, кажется, хочет пересчитать расположенные перед ним предметы, повторяя последовательно перед каждым какое-либо слово, например «ако» (encore—еще), которому он противопоставляет другое слово, как например «пата» (parti — ушедший), в отношении тех предметов, чье отсутствие он констатирует. Создается впечатление, что ребенок действует по принципу сложения и вычитания. Быть может, дело только за тем, что ему не хватает необходимых слов, чтобы зафиксировать результаты своих действий. Но названия чисел, которые он затем выучивает, очень долго будут им употребляться не к месту. Правильное употребление слов «два», затем «три» будет задолго предшествовать правильному употреблению всех остальных.

Когда позже ребенок научится называть числа по порядку, применяя их к серии предметов, последний термин будет обозначать последний предмет, а не общую сумму: ребенку неизвестен переход от порядкового числительного к количественному; затем число, обозначающее сумму, будет применяться только к данной совокупности предметов, и никакой иной. Ребенок знает, что у него на руке пять пальцев, и считает их, но он не знает, сколько пальцев на руке его дедушки. Это докатегориальная фаза числа: число для ребенка представляет собой качество, принадлежащее данному предмету или группе предметов, а слова, обозначающие числа, долго употребляются случайно, очевидно, потому, что интуиция не в состоянии выделить группы, с которыми могли бы быть связаны числовые термины. Единственными группами, которые ребенок узнает задолго до других, являются те, структура которых наиболее элементарна: «два», затем «три». Попытки перечисления вначале просто следуют за интуитивной и глобальной перцепцией количества. Бинэ первый попытался выяснить, при каком максимальном количестве объектов и каком минимальном неравенстве ребенок способен установить на различных возрастных ступенях, которая из двух кучек предметов больше или меньше. Декроли проделал аналогичные опыты, но предлагал при этом ребенку уравнять две группы предметов, которые различались между собой одной или двумя единицами. Эту задачу дети долгое время решали одним-единственным способом: они изымали часть предметов из большой группы, не пытаясь их прибавить к маленькой. И не потому, что одно действие само по себе было менее легкое, чем другое, но без сомнения потому, что действие прибавления раньше, чем стать привычным и автоматизированным, требует интуитивного предвосхищения еще не осуществленного результата действия, в то время как действие вычитания влечет простое уменьшение чего-то непосредственно воспринимаемого. Таким образом, конкретные и специфические интуиции являются сначала непременным условием наиболее простых операций. Опыт показал, что полезно заставлять ребенка сравнивать, дробить и восстанавливать реальные количества, предоставляя ему возможность опираться на непосредственную интуицию последовательно получаемых групп и структур, для того чтобы ребенок мог лучше понять значение и применение чисел. И только после этого он сумеет пользоваться ими в качестве абстрактных понятий в плане категорий.