(3) и основание, и следствие ложны.

Только в четвёртом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.

Будем обозначать импликацию символом →. Таблица истинности для импликации приводится.

<РИСУНОК В ЭЛЕКТРОННОМ ВИДЕ ОТСУТСТВУЕТ>

Смысл импликации, как одной из логических связок, полностью определён этой таблицей, и ничего другого импликация не подразумевает.

Импликация, в частности, не предполагает, что высказывания A и B как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности B высказывание «если A, то B» истинно независимо от того, является A истинным или ложным и связано оно по смыслу с B или нет. Истинными считаются, например, высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырём», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. Условное высказывание истинно также тогда, когда A ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно B или нет и связано оно по содержанию с A или нет. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио маленький город» и т.п. В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и ещё в меньшей степени как истинные.

Очевидно, что хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты «логического поведения» условного высказывания, но вместе с тем не является достаточно адекватным его описанием.

В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении, наряду с ним, другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.

С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность – сложное высказывание «A, если и только если B», образованное из высказываний A и B и разлагающееся на две импликации: «если A, то B» и «если B, то A». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «…, если и только если …», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «…, если и только если …» для этой цели могут использоваться «… в том и только том случае, когда…», «… тогда и только тогда, когда…» и т.п.