1.2. Связь вероятностной модели с опытом: оценка и проверка

1.2.1. Оценка параметров. Статистические методы позволяют учесть данные опыта (выборочные значения) для уточнения деталей вероятностной модели, например, для оценки плотности вероятностей j(x) случайной величины х. Знание же вероятностной модели позволяет прогнозировать будущие события, что важно для принятия решений. В большинстве приложений относительные частоты применяются непосредственно только для грубой качественной оценки распределения генеральной совокупности. (Задача прогнозирования на практике сводится к построению математической модели прогнозируемого явления.) Знание закона распределения является одним из «кирпичиков» при построении модели.

Перед нами стоит задача не оценивания закона распределения самой выборки, а определении вероятности появления некоторого события, задача, которая возникает при обработке результатов педагогических экспериментов, а относительная частота, является основной характеристикой, которую можно использовать в этой задаче.

Для оценки значений параметров распределения по данным выборки пользуются значениями таких статистик: y1(х1, х2 .... xn), ,y2(х1, х2 .... xn) ..., которые характеризуют аналогичные свойства выборки (например, выборочное среднее, выборочную дисперсию). Выбор «подходящих» статистик не обязательно однозначен; предпочитают оценки y(х1, х2 .... xn), которые сходятся к оцениваемому значению с ростом n (состоятельные оценки), у которых математическое ожидание равно оцениваемому значению) (несмещенные оценки) или у которых выборочное распределение имеет наименьшую дисперсию (эффективные оценки) и/или которые легче вычислить. Сходимость по вероятности означает, что при n, стремящимся к бесконечности вероятность отклонения оцениваемого параметра от его оценки стремится к нулю. Сходимость в среднем означает, что дисперсия оценки стремится к нулю. Сходимость в среднем «сильнее», чем сходимость по вероятности, т.е. из сходимости в среднем вытекает сходимость по вероятности, но не наоборот. На практике это означает, что с ростом числа испытаний оценка дисперсии стремится к нулю.