Идеи Кантора оказали огромное влияние на развитие всей новейшей математики. Многие крупнейшие математики приступили к переработке ряда основных разделов математики в понятиях теории множеств. Основанная Кантором теория множеств содействовала перестройке и обоснованию математического анализа. Условием этого обоснования была разработка теории пределов. Но теория пределов сама опирается на строгое определение иррационального числа. Такое определение было разработано именно на фундаменте теории множеств Дедекин-дом, Вейерштрассом и Кантором.

Разработка понятия о множестве способствовала возникновению новых частей математики. Это была сама теория множеств — общая и специальная теория «точечных» множеств; теория функций действительного переменного и ее подразделения (теория интегрирования, теория тригонометрических рядов, общая теория «разрывных» функций) ; теоретико-множественная топология; функциональный анализ.

Но теория множеств не только стала основой ряда новых важных частей математики. Понятия и методы этой теории стали оказывать мощное влияние на развитие и разработку большинства математических наук. В каждой отрасли математики, по утверждению П. Александрова, все больше распространяется метод определения предмета ее исследований· «как некоторого множества объектов, удовлетворяющих известной системе соотношений» (4, 15). Методы теории множеств проникли во все области математики. Они охватили самые различные части математического анализа: теорию функций комплексного переменного, теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и т. д. (см. 4, 15). При этом влияние оказали не только разработанные Кантором понятия о «мощности» множеств, о «вполне упорядоченных множествах», о «числовых классах», о «трансфинитных» числах и т. д. В трудах Кантора можно найти идеи, не столь подробно развитые, но тем не менее получившие дальнейшую жизнь и развитие в работах видных математиков других направлений. Не имея возможности останавливаться на этом вопросе в настоящей работе, отметим только четыре идеи. Во-первых, у Кантора мы находим мысль, подробно развитую Пуанкаре, — мысль о том, что под «существованием» математических объектов можно понимать лишь отсутствие противоречий в понятиях об этих объектах. Во-вторых, Кантор отстаивает «свободу» математического творчества — взгляд, который получит дальнейшее развитие в математическом «интуиционизме». В-третьих, Кантор ограничивает эту «свободу» возможностью плодотворной интерпретации и применения «свободно» создаваемых математикой новых принципов и понятий о ее объектах. В этом смысле Кантор разъяснял, что если, например, вводимое математикой новое число «неплодотворно или нецелесообразно, то это весьма скоро обнаруживается благодаря его полной непригодности, и тогда оно за отсутствием успеха отбрасывается» (16, 32). В более резкой форме взгляд этот был развит впоследствии Лузиным. В-четвертых, признавая, что новые принципы, понятия и законы математики усматриваются интуитивно, в порядке «внутреннего созерцания», или интеллектуального видения, Кантор сводит «интуитивность» этого видения к той полной ясности и отчетливости, которые возникают лишь на основе и в результате точных определений, изначально свободных от всякой неясности и противоречивости. Так, при введении новых чисел математика «обязана только дать определения их, благодаря которым они получают такую определенность и при известных обстоятельствах такое отношение к прежним числам, что их можно во всех данных случаях определенно отличать друг от друга» (16, 32). Это сведение интуитивности математических понятий к отчетливости, вводимой логическими определениями, получило дальнейшее развитие в математическом «интуиционизме».