Оказалось, что даже хорошо и отлично успевающие учащиеся в среднем дали 65% правильных ответов, остальные их ответы были ошибочными. Например, многие учащиеся указали как верное такое определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны». Это определение ошибочное, так как указанные в нем признаки не позволяют . отличить параллелограмм от трапеции. Аналогично определение квадрата как геометрической фигуры, все стороны и все углы которой равны между собой, многие учащиеся признали правильным, что неверно. Их не смутило то, что квадрат определяется не через ближайший род (прямоугольник), а через весьма отдаленное понятие - геометрическая фигура. Учащиеся делали ошибки как на расширение, так и на сужение объема определяемых понятий.

Таким образом, видо-родовые отношения понятий, логические правила определений должны войти в программу формирования логического мышления учащихся.

Следующий логический прием, который широко используется в процессе обучения и без которого невозможно полноценное мышление человека, - прием выведения следствий с соблюдением требований закона контрапозиции. Этот прием, как и предыдущие, также обычно не выступает в школе в качестве предмета специального усвоения. В силу этого далеко не все учащиеся даже старших классов понимают, что одно и то же следствие может быть связано с разными основаниями, и поэтому от наличия следствия нельзя переходить к утверждению наличия основания. Так, учащиеся правильно указывают, что если углы смежные, то их сумма равна 180°. Но нельзя утверждать, как это делают некоторые ученики, обратное: если сумма углов равна 180°, то они являются смежными (прямые вертикальные углы равны в сумме 180°, но они не являются смежными). Одно и то же следствие (сумма углов 180°) имеет разные основания.

Учащимся восьмого класса были предложены пары посылок, из которых требовалось сделать выводы. Вот некоторые из них: «Если у человека повышена температура, то он болен. У человека не повышена температура». «Если данный четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Данный четырехугольник не является ромбом».

Подавляющее большинство учащихся и в первом, и во втором случае дали неверные ответы: они сделали вывод, что человек, не имеющий повышенной температуры, не болен, и что у данного четырехугольника диагонали не взаимно перпендикулярны.

Суть их ошибки состоит в том, что они сделали вывод с нарушением закона контрапозиции. В чем состоит этот закон? Этот закон нам указывает, когда мы имеем право делать вывод, а когда не имеем.