Постепенно учитель усложняет задания, используя операцию сравнения для установления определенной закономерности. Например:

1. 10, 12, 14, 16, 18 ........ По какому правилу записан данный ряд чисел? Продолжите данный ряд.

2. 17, 21, 13, 25. Перепишите числа в порядке возрастания. Вставьте недостающие числа так, чтобы каждое следующее число было на 2 единицы больше предыдущего.

3. 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Какие числа нужно зачеркнуть в записанном ряду, чтобы каждое следующее число было на 2 единицы больше предыдущего?

4. 13+2=15, 13+4=17, 13+8=21, 13+10=23. Как изменяется сумма? Вставьте недостающий пример так, чтобы сумма увеличивалась бы каждый раз на две единицы.

Многие учителя считают, что выполнение таких заданий занимает много времени, и тем самым наносит ущерб той тренировочной работе, которая осуществляется с целью формирования вычислительных навыков. С этим трудно согласиться. Задача формирования вычислительных навыков не должна решаться только на основе тренировки в решении однообразных примеров. Учащиеся должны выполнять вычислительные операции с определенной целью, которая поставлена заданием или вопросом. Только в этом случае можно научить ученика рассуждать, т. е. последовательно переходить от одного суждения к другому и в конечном итоге давать обоснованный ответ.

Так, вместо решения примеров: 5+2, 2+1, 5+3 и т. д. — учитель может предложить задание: “Миша и бабушка пошли на рынок. Они должны купить 3 кг картофеля, 2 кг моркови, 1 кг свеклы и 3 кг помидоров. Какие овощи может нести Миша, если ему разрешено поднимать груз не более 6 кг?” При выполнении задания учащиеся производят вычислительные операции, но полученные результаты они должны соотносить с условием задания. Именно это соотнесение и явится основой их рассуждений.

Вместо того чтобы записывать примеры на состав числа 7, учитель может воспользоваться таким заданием: “Коля и Вова поделили между собой 7 яблок. Коля сказал, что у него столько же яблок, сколько у Вовы. Верно ли сказал Коля?” Выполняя подобные задания, ученик не может ограничиться только решением примеров, так как вопрос, предложенный в задании, заставляет его прежде всего разобраться в ситуации, проанализировать данные и соотнести результаты вычислений с поставленным вопросом, ответ на который заставит провести его то или иное рассуждение.

Особо следует остановиться на заданиях, которые совсем не нашли отражения при изучении математики в I классе, хотя они в большей степени развивают способность к рассуждению и не менее способствуют формированию вычислительных навыков. Рассмотрим задание: 15+П = 15*П. Вставьте пропущенные числа и знаки, чтобы полученная запись была верной.

Особенность выполнения этого задания заключается в том, что рассуждения ученика строятся в зависимости от того, какой шаг он сделает первым. При этом возможны самые различные варианты. Например, если ученик поставит сначала знак “плюс” справа, то он будет иметь: 15+¨ = 15+¨ . Отсюда, чтобы суммы были равны, можно поставить слева и справа только одинаковые числа (любые). Учащиеся приводят примеры. Но можно сначала поставить справа и знак “минус”. Тогда выражения, стоящие слева и справа, будут равны только в одном случае, если пропущенное число 0: 15+0=15—0. Наконец, ученик может начать с того, что вставит любое пропущенное число, например: 15+¨ = 15*35. Это определит другой ход рассуждений: справа можно поставить только знак “плюс”, так как из меньшего числа нельзя вычесть большее, отсюда слева можно поставить только число 35, чтобы суммы были равны. Может быть и такой вариант: ученик сначала поставит пропущенное справа число, например 10, получит: 15+¨ = 15*10. В принципе он может поставить справа знак “минус”, но дальнейший анализ убедит его в том, что это невозможно, так как если из 15 вычесть 10, то он получит число меньше 15, а справа он может получить число, которое или больше, или равно 15. Варианты первого шага могут быть самыми различными, учитель предоставляет детям самостоятельно начать выполнение задания, а затем помогает им правильно сориентироваться в условии. В случае необходимости первый шаг может сделать учитель.

Подобные задания учитель может составить сам. Надо только иметь в виду, что математическая запись должна содержать более одного неизвестного, одно из которых учащиеся должны ввести сами.

Такие задания вызывают обычно большую активность учащихся. Правда, сначала они нередко делают первый шаг, не осознавая, к чему он приведет, но в процессе выполнения таких заданий они начинают понимать, что от первого шага зависит ход дальнейших рассуждений, и стремятся предвосхищать свои действия. Эти задания целесообразно использовать в конце учебного года для углубленного повторения ранее пройденного материала уже в I классе. Во II и III классах аналогичные задания можно предлагать с трехзначными и многозначными числами. Задания позволяют учитывать уровень развития учащихся и организовывать дифференцированную работу в классе, так как при выполнении одного задания на различных его этапах в работу могут быть включены несколько учащихся.

Полезны задания и такого вида:

1. Сравни числа, записанные в первом и во втором столбиках. Сумма чисел в первом столбике равна 30. Как быстрее можно найти сумму чисел, записанных во втором столбике?

Учащиеся замечают, что во втором столбике каждое из данных чисел на 10 больше соответствующего числа первого столбика. Таких чисел четыре, значит, сумма будет больше на 10*4. Она равна: 30 + 40 = 70.

2. Более сложное задание того же характера:

Сумма чисел в первом столбике равна 74. Как быстрее можно найти сумму во втором и третьем столбиках?

Сумму чисел во втором столбике учащиеся могут найти, обратив внимание на то, что каждое число второго ряда на единицу меньше соответствующего числа в первом ряду, значит, сумма меньше на 1*4, т. е. на 4 единицы. Но учащиеся могут подойти к выполнению задания и по-другому. Числа 17, 18 и 19 повторяются как в первом, так и во втором столбике, а четвертое из чисел в каждом столбике различно, при этом 16 меньше 20 на 4 единицы, значит, сумма чисел второго столбика равна 70. Сумму чисел третьего столбика учащиеся могут найти, сравнив его числа с числами либо первого, либо второго столбика. Каждое число третьего столбика на 3 единицы меньше соответствующего числа второго столбика, таких чисел четыре, значит, сумма чисел в третьем столбике на 3*4 единиц меньше, чем сумма чисел второго столбика.

Аналогично учащиеся рассуждают, сравнивая числа третьего столбика с числами первого. Выполнение задания различными способами — один из приемов развития навыков самоконтроля, поэтому учитель должен не только побуждать учащихся на поиски другого способа выполнения задания, но и разъяснять, что, выполняя задание другим способом, они тем самым проверяют полученный результат. Наконец, учитель может предложить найти сумму чисел каждого столбика, последовательно прибавляя одно число к другому, и тем самым повторить приемы сложения двузначных чисел.

Концентрическое расположение материала в курсе математики начальных классов позволяет использовать приведенные выше задания в любом концентре и тем самым вести работу как по формированию вычислительных навыков, так и по развитию учащихся.