Исследование того, как ребенок открывает пространственные отношение, что можно назвать спонтанной геометрией ребенка, не менее плодотворно, чем изучение его числовых понятий. Порядок развития идей ребенка в области геометрии кажется обратным порядку их исторического открытия. Научная геометрия начинается с системы Эвклида (трактующей фигуры, углы и т. д.), развивается в XVII столетии в так называемую проективную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы) и, наконец, в XIX столетии приходит к топологии (описывающей пространственные отношения в общем качественном виде, например различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). Ребенок начинает с последнего: его первые геометрические открытия являются, топологическими. В возрасте 3 лет он легко различает открытые и замкнутые фигуры; если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рисует крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему рисунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может воспроизвести это отношение, не может также нарисовать маленький круг вне большого или соприкасающимся с ним краем. И все это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоугольник или выразить эвклидовы характеристики фигуры (число сторон, утлы и т. д.). Лишь значительно позже того, как ребенок овладеет топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия эвклидовой и проективной геометрии. И тогда он строит их одновременно. Интересно, что этот психологический порядок гораздо ближе к порядку дедуктивного или аксиоматического построения современной геометрии, чем исторический порядок ее открытий. Это является еще одним примером родства между психологически структурой  и логической конструкцией самой науки. Проверим наших юных испытуемых в отношении проективных структур. Сначала мы ставим два крайних столбика «решетчатой ограды» (маленькие палочки, вставленные в основания из пластилина) на расстоянии приблизительно 15 дюймов друг от друга и просим ребенка поставить другие столбики по прямой линии между ними. Самые младшие дети (младше 4 лет) ставят один столбик рядом с другим, образуя более или менее волнистую линию. Их подход является топологическим: элементы связаны скорей простым отношением близости, чем проекцией линии как таковой. На следующей стадии, старше 4 лет, ребенок уже может составить прямую линию, если крайние столбики расположены параллельно краю стола или если есть какая-нибудь другая прямая линия, которой ребенок может руководствоваться. Если крайние столбики расположены по диагонали стола, ребенок может начать строить линию параллельно краю стола, а затем меняет направление и образует кривую, чтобы подвести линию к последнему столбику. Случайно малыш может сделать и прямую линию, но она будет лишь одной среди прочих других, получаемых посредством проб и ошибок, а не по системе.