если A или B и ~ A, то В.

Законы де Моргана

Широкое применение находят законы, названные именем американского логика А. де Моргана и позволяющие переходить от утверждений с союзом «и» к утверждениям с союзом «или», и наоборот:

~ (A & B) → (~ A v ~ В),

если неверно, что есть и первое, и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе;

( ~ A v ~ В) → ~ (А & В),

если неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Используя эти законы, от высказывания «Неверно, что изучение логики и трудно, и бесполезно» можно перейти к высказыванию «Изучение логики не является трудным, или же оно не бесполезно». Объединение этих двух законов даёт закон (↔ – эквивалентность, «если и только если»):

~(A & B) ↔ (~ A v ~ B).

Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Ещё один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:

~ (A v В) ↔ ( ~ А & ~ В),

неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии». На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, используя отрицание, через «или», и наоборот:

– «A и B» означает «неверно, что не-A или не-B»,

– «A или B» означает «неверно, что не-A и не-В».

К примеру: «Идёт дождь и идёт снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

Закон приведения к абсурду

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путём выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. Если из высказывания A выводится как высказывание B, так и его отрицание, то верным является отрицание A. Например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».