Такая процедура успешно применялась Шепардом и Кэрролом (1966) и Измайловым (1979) к данным называния цветов Бойтона и Гордона (1965) для построения пространства цветоразличения.

§3. Построение пространственной модели стимулов

Как уже было сказано, построение психологического пространства предполагает решение двух самостоятельных задач: определения минимального числа осей, необходимых и достаточных для описания структуры межстимульных различий, и вычисления числовых значений, определяющих положение каждого стимула относительно базисных осей координат.

1. Определение базисной размерности.

Определение достаточного числа измерений основано на выборе некоторого критерия, по которому оценивается расхождение между исходной матрицей данных и вычисленными межточечными расстояниями. В идеальном случае это расхождение должно равняться нулю, но в эмпирических данных всегда присутствуют случайные ошибки — шум, величина которого чаще всего неизвестна, поэтому на практике критерий выбирается не нулевой, но достаточно небольшой.

Например, Торгерсон (1958) предлагает следующий метод для определения минимальной размерности. Вычисляется центрированная матрица скалярных произведений между стимулами. Характеристические корни этой матрицы упорядочиваются по величине. Размерность определяется по числу собственных векторов, соответствующих наибольшим характеристическим корням, так, чтобы разброс полученных координат вносил достаточно большой вклад в дисперсию (75—96%). Остальная часть дисперсии рассматривается как следствие случайных ошибок.

Метод определения минимального числа измерений в ходе построения пространственной модели впервые был предложен Шепардом (1962). Он основан на общем принципе понижения размерности, который представляет собой растяжение больших и сжатие маленьких расстояний. Действительно, чтобы поместить, например, треугольник в одномерном пространстве, не нарушая условия монотонности, необходимо сжать его меньшие стороны и растянуть большую. Процедура понижения размерности, так же как и достижение монотонности, основана на формировании множества векторов для каждой точки i, которые должны сжимать маленькие расстояния и растягивать большие. Критерием разделения расстояний на маленькие и большие служит среднее арифметическое расстояний. Поскольку процедура понижения размерности ориентирована на выполнение условия полной монотонности по отношению к различиям, то вместо рангов расстояний, которые на данном шаге итерации не обязательно удовлетворяют условию монотонности, лучше брать ранг самих различий. Тогда вектор, формирующийся для точки i по отношению к точке j, будет определять направление вектора (от точки i к точке j или наоборот), а величина разности (Dij - D) будет определять длину вектора. Сформированные таким образом (n-1) векторы для данной точки i также рассматриваются как действующие аналогично (n-1)-мерному вектору. Как и в ходе достижения монотонности, на каждом шаге итерации меняется положение всех n точек.