Разностороннее развитие естествознания и математики не могло, однако, ограничиться решением одних только практических задач, которые выдвигала перед наукой экономическая и политическая жизнь возникавшего капиталистического общества. Размежевание наук, выделение их из общего комплекса знаний вело к тому, что каждая из них не только стремилась оформиться как единое целое и определить свои задачи и методы, но и старалась дать философское — гносеологическое и логическое — обоснование этих задач и методов. Необходимость такого обоснования встала и перед математикой.

В XVII столетии ряд философов, часть которых были одновременно и математиками (Декарт, Локк, Лейбниц, Спиноза), исследуя своеобразие математического знания и пытаясь дать этому своеобразию гносеологическое и логическое объяснение, встретили при решении этой задачи трудность. Состоит она в следующем. Во-первых, суждение в математических науках обладает, по мнению этих философов, безусловной логической всеобщностью и необходимостью: любая доказанная в математике теорема справедлива не только для данного единичного объекта, а для любого объекта из класса объектов, который имеет в виду доказательство, и справедливость ее не может быть отрицаема. Во-вторых, особенность математических наук состоит, как полагали Декарт, Спиноза и Лейбниц, в том, что логическая необходимость доказываемых в них теорем не может иметь источник в опыте и в эмпирической индукции. Всякое положение, добытое при помощи опыта, не может быть безусловно необходимым. Оно может быть только вероятным. Но если это так, то откуда может почерпнуть математика эти свои логические признаки — всеобщность и необходимость? Если они не могут иметь основание в опыте, то в чем же тогда следует искать их основание?

Трудность эту некоторые философы XVII в. пытались преодолеть посредством проведения различия между непосредственным (интуитивным) знанием и знанием опосредствованным. Согласно их теории, математические истины в огромном своем большинстве опосредствованы доказательством. Но если мы будем продолжать восходящее движение мысли от доказанной теоремы к теоремам, на которые наука ссылается при ее доказательстве, а от этих последних в свою очередь к теоремам, лежащим в их основе, то это восхождение не может продолжаться беспре-дельно. Рано или поздно мы дойдем до положений, которые в данной науке уже не могут быть доказаны и принимаются без доказательства. Истинность этих положений якобы уже ничем не опосредствована. Их всеобщий и необходимый характер прямо, или непосредственно, усматривается умом.